ciągi
achilles: 4 liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego rosnącego. w którym suma skrajnych wyrazów
jest równa 112, a suma środkowych 48. wyznacz te 4 liczby
11 wrz 07:39
Bogdan:
Zapisz sam warunki zadania w postaci równań
11 wrz 07:53
Patronus: a
1, a
2, a
3, a
4
a
1 + a
4 = 112
a
2 + a
3 = 48
a
22 = a
1*a
3
a
32 = a
2*a
4
a
1 = 112 − a
4
a
2 = 48 − a
3
(48−a
3)
2 = (112−a
4)*a
3
a
32 = (48−a
3)*a
4
I jest układ 2 równan i dwóch niewiadomych powinno się udać
11 wrz 07:54
Bogdan:
Ćwiczenie dla Patronusa. Wskaż prostsze rozwiązanie
11 wrz 07:58
Patronus:
a1
a1q
a1q2
a1q3
a1 + a1q3 = 112
a1q + a1q2 = 48
takie, czy jeszcze mam myśleć nad prostszym?
11 wrz 08:09
Bogdan:
Takie, ale chodzi o sposób rozwiązania tego układu równań.
11 wrz 08:34
Bogdan:
Pokażę zgrabny sposób rozwiązania przedstawionego układu równań.
| ⎧ | a1(1 + q3) = 112 | |
| ⎩ | a1q(1 + q) = 48 | i q > 1
|
| | a1(1 + q)(1 − q + q2) | | 112 | |
Dzielimy równania stronami: |
| = |
| |
| | a1q(1 + q) | | 48 | |
| | 1 − q + q2 | | 7 | |
Po uproszczeniu: |
| = |
| ⇒ 3q2 − 10q + 3 = 0, Δ = 64 |
| | q | | 3 | |
| | 1 | |
Stąd q = |
| < 1 lub q = 3 > 1, a1 * 3 * 4 = 48 ⇒ a1 = 4 |
| | 3 | |
Odp.: 4, 12, 36, 108
11 wrz 09:22
Patronus: Faktycznie zgrabnie
11 wrz 10:40