baza i wymiar
ralph: Niech e
i dla i = 1,...,n będą elementami bazy standardowej K
n. Znaleźć wymiar i bazę
podprzestrzeni rozpiętej przez wektory e
i+e
j dla 1≤i,j≤n, n≠j, jeśli K=Q.
podobno to jest "bardzo fajne zadanie", ja zczaiłem tyle, ze w kazdym kolejnym niezaleznym
wektorze tej bazy co to ją mamy znalezc ta druga jedynka nie moze być na tym samym miejscu.
czyli np pierwsze w tej bazie moglyby byc wektory a
12* [1,1,0,0,......,0]+a
13 *
[1,0,1,0,......,0]+...+a
1n*[1,0,0.....,0,1] byłoby takich wektorów n−1. wektorów
jednostkowych w kolejnym rzedzie czyli tam gdzie pierwsza jedynka stoi na drugim miejscu
byloby n−2, a ma być ich "n" o ile sie nie myle, bo to wynika z tego, ze wszystkie bazy tej
samej przestrzeni maja ten sam wymiar....czyli musialbym dobrać w pierwszym tym rzedzie
wektorów jeszcze jeden jakis niezalezny (w drugim dwa) ktory by razem tworzyl baze o wymiarze
n tak? dobrze rozumuje? jesli tak to fajnie ale nie moge znalezc własnie tego wektora hehe
help
Artur_z_miasta_Neptuna:
do treści zadania −−− zapewne jest warunek i≠j , a nie n≠j
co do samego tworzenia bazy.
skoro już zrobileś, ze bazę tworzysz poprzez:
e
1+e
i ; gdzie 2≤i≤n
to zauważ, że z ów wektorów nie uda Ci się 'wyłuskać' chociażby e
1
baza będzie pełna gdy dorzucisz do niej np. e
2+e
3 (ogólnie e
i+e
j ; gdzie 2≤i≤n ⋀2≤j≤n ⋀
i≠j)
bo wtedy:
| (e1+ei) + (e1+ej) − (ei+ej) | | 2e1 | |
| = |
| = e1 |
| 2 | | 2 | |
w ten sposób uzyskujesz bardzo ważny wektor e
1 = [1,0,0,0,....]
dzięki czemu baza jest pełna, bo możesz stworzyć już każdy wektor (ponieważ e
1+e
k − e
1 =
e
k)
co do drugiego kroku:
skoro tworzysz bazę z elementów typu:
[0,1,1,0....,0]
[0,1,0,1....,0]
......
[0,1,0,0....,1]
to dlaczego zapomniałeś o:
[1,1,0,0....,0]
w tym momencie Twa konstrukcja jest analogiczne do poprzedniej, bo wektory bazy tworzone są w
sposób:
e
2+e
i ; gdzie 1≤i≤n ∧ i≠2
i teraz także musisz 'dorzucić' e
i+e
j ; gdzie 1≤i≤n ⋀1≤j≤n ⋀ i≠j ⋀i≠2 ⋀j≠2
aby baza była pełna (patrz poprzednie tworzenie bazy)