suma dzielnikow yuo: Istnieje jakis wzor na sumę dzielników?

Mila: Jest na liczbę dzielników .

PW: Poruszyłeś trudny temat (nie wiem, czy świadomie i śmiać się będziesz z tych, co próbują rozwiązać, czy jesteś osobą poszukującą). Liczba doskonała to taka, która jest sumą swoich dzielników (mniejszych od niej). Na przykład 6=1+2+3. Do tej pory udało się znaleźć zaledwie kilka liczb doskonałych, te większe są olbrzymie. Nie pamiętam, czy w ogóle udało się oszacować ich liczbę, ale na pewno zaraz ktoś odpowie. A Ty byś tak chciał, żeby na forum dla licealistów ktoś odpowiedział wzorem?

Vax: Czemu trudny temat, taki wzór istnieje i może go wyprowadzić przeciętny licealista

Vax: *zapomniałem się zalogować

ICSP: Jestem poniżej poziomu przeciętnego licealisty

Vax: Wystarczy zauważyć, że każdą dodatnią liczbę całkowitą (różną od 1) możemy zapisać jako: n = p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_k^a_k gdzie p_i są parami różnymi liczbami pierwszymi, a a_i są całkowite dodatnie. Każdy dzielnik n jest postaci d = p₁^b₁*p₂^b₂*...*p_k^b_k dla pewnych całkowitych nieujemnych liczb b_i. Stąd już łatwo zauważyć, że suma wszystkich dzielników n to: (1+p₁+p₁²+...+p₁^a₁)*(1+p₂+p₂²+...+p₂^a₂)*...*(1+p_k+p_k²+...+p_k^a_k) =

	p1a1+1−1		p2a2+1−1		pkak+1−1
		*		* ... *
	p1−1		p2−1		pk−1

PW: Różnimy się w poglądach co do rozumienia słowa "wzór". Wzór to formuła działająca zawsze (ewentualnie w podanej dziedzinie), na przykład wzór (a+b)²=a²+2ab+b². Twoje rozumowanie to stwierdzenie: jeżeli znam rozkład liczby na czynniki pierwsze, to potrafię zsumować jej dzielniki. Zresztą czy rzeczywiście potrafisz? Skąd tyle jedynek? Jedynka jest r a z dzielnikiem każdej liczby.

Vax: No nie do końca, przecież to co podałem jest dokładnym wzorem. Znając jakąś liczbę n zawsze znajdziesz jej rozkład na dzielniki pierwsze, wystarczy sprawdzić podzielność jej przez wszystkie liczby pierwsze nie większe od √n i tyle, oczywiście im większe n tym więcej liczb pierwszych może mieć w rozkładzie, ale to nie zmienia faktu, że jest to gotowy sposób na rozkład liczby na postać iloczynową, co następnie można bezpośrednio podstawić do wzoru dostając wynik. Co do Twojej uwagi o ,,jedynkach" to mógłbyś to rozwinąć, bo za bardzo nie rozumiem?

PW: Pozostaję z szacunkiem. Ślepnę (mówię poważnie) i te gwiazdki potraktowałem jako plusy. Wolałbym, żeby nie stawiać gwiazdek zamiast znaku mnożenia za zrozumiałych powodów. Co do znaczenia słowa "wzór" to niechcący wkraczamy na tereny filozoficzne, do czego nie mam przygotowania. Dla mnie wzór to równość (tożsamość), która jest w określonej dziedzinie prawdziwa dla wszystkich występujących w niej obiektów i może być sprawdzona w skończonej liczbie kroków. Tutaj mamy do czynienia z dowolnymi liczbami naturalnymi, jak wiadomo nie da się oszacować liczby czynników pierwszych w rozkładzie, stąd moje wybrzydzanie − podana procedura rozciąga się w nieskończoność. Od razu po przeczytaniu pytania przyszły mi na myśl liczby doskonałe. Gdyby istniała procedura (funkcja) pozwalająca w skończonej liczbie kroków obliczyć sumę dzielników dowolnej liczby, to problem byłby rozwiązany.