Największa i najmniejsza wartość funkcji telo: Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji zadanej wzorem: h(x, y) = 4xy−y²+9 w zbiorze D = {(x,y)∊R² | x²+3y²<=7} Moje rozwiązanie: Obliczam pochodne cząstkowe h(x,y) po x i y, wychodzi, że: x=0 i y=0, zatem h(0,0) = 9. Sprawdzam brzeg elipsy, z jej równania wyznaczam:

	√7−x2
y = +−		, x∊<−√7,√7>
	√3

	√7−x2		4x*√7−x2		7−x2
Gdy y =		, to h(x)=		−		+9
	√3		√3		3

h'(x) = 0 ⇔ x=−√3 ⋁ x=2

	1
h(−√3)=−
	3

h(2) = 16 h(√7)=9=h(−√7)

	√7−x2		−4x*√7−x2		7−x2
Gdy y = −		, to h(x)=		−		+9
	√3		√3		3

h'(x) = 0 ⇔ x=√3 ⋁ x=−2

	1
h(√3)=−
	3

h(−2) = 16 h(√7)=9=h(−√7)

	1
Zatem najmniejsza wartość tej funkcji to −		a największa to 16.
	3

Czy moje rozwiązanie jest poprawne?

telo: Ponoć da się to zrobić łatwiej, korzystając z mnożników Lagrange'a, czy mógłby ktoś mi pokazać jak to zrobić?

Basia: h(x,y) = 4xy − y²+9 G(x,y) = x²+3y²−7 F(x,y) = 4xy − y² + 9 +λ(x²+3y²−7) = 4xy + λx² + (3λ−1)y² +9 − 7λ F'_x = 4y + 2λx F'_y = 4x + 2(3λ−1)y 4y + 2λx = 0 4x + 2(3λ−1)y = 0 x²+3y²−7=0 2y + λx = 0 2x + (3λ−1)y = 0 dla x,y≠0

	2y
λ = −
	x

	2x
3λ − 1 = −
	y

	2x
3λ = 1−
	y

	y−2x
3λ =
	y

	y−2x
λ =
	3y

y−2x		2y
	= −
3y		x

y		2x−y
	=
x		6y

y		1	x		1
	=			−		/*6
x		3	y		6

	y		x
6		= 2		− 1
	x		y

	y
t =
	x

	1
6t = 2*		− 1
	t

6t² = 2 − t 6t² + t − 2 = 0 Δ=1 + 4*6*2 = 49

	−1−7		8		2
t1 =		= −		= −
	12		12		3

	−1+7		1
t2 =		=
	12		2

czyli

y		2
	= −
x		3

lub

y		1
	=
x		2

	2
y = −		x
	3

lub

	1
y =		x
	2

podstawiamy do (3)

	4
x2 + 3*		x2 − 7=0
	9

lub

	1
x2+ 3*		x2 − 7 = 0
	4

	4
x2 +		x2 − 7 = 0
	3

lub

	3
x2 +		x2 − 7 = 0
	4

3x² + 4x² − 21 = 0 lub 4x² + 3x² − 28 = 0 7x² −21 = 0 lub 7x² − 28 = 0 x² − 3 = 0 lub x² − 4 = 0

	2√3
x = −√3 i y=
	3

lub

	2√3
x=√3 i y= −
	3

lub x= −2 i y = −1 lub x=2 i y=1 ponieważ elipsa jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartym), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja h, osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe): teraz liczysz po kolei

	2√3
h(−√3;		)
	3

	2√3
h(√3; −		)
	3

h(−2;−1) h(2;1) i wybierasz wartość najmniejszą i największą nie jestem pewna czy w tym przypadku tak jest łatwiej

telo: Faktycznie, jest to zagmatwane, ale w każdym razie doszliśmy do tego samego wyniku więc wnioskuję, że nasze rozwiązania są poprawne, dzięki