ZADANKO K: Taki wielomian: x⁴−10x³+26x²−10x+1 = 0

ICSP: piszę

ICSP: Równanie : x⁴ − 10x³ + 26x² − 10x + 1 = 0 jest nazywane równaniem zwrotnym czyli równaniem w postaci : ax⁴ + bx³ + cx² + dx + a = 0 Aby je rozwiązać możemy użyć bardzo interesującej metody : Najpierw pokażemy że x = 0 nie jest pierwiastkiem naszego wielomanu : w(x) = x⁴ − 10x³ + 26x² − 10x + 1 w(0) = 1 ≠ 0 − x = 0 nie jest pierwiastkiem. Teraz rozważamy nasze równanie dla x ≠ 0 − oznacza to że możemy je podzielić przez x² : x⁴ − 10x³ + 26x² − 10x + 1 = 0

	1		1
x2 − 10x + 26 − 10		+		2 = 0
	x		x

	1		1
x2 +		− 10x − 10		+ 26 = 0
	x2		x

	1		1
x2 +		− 10(x +		) + 26 = 0
	x2		x

teraz zauważam że :

	1		1		1		1
(x +		)2 = x2 + 2 +		inaczej : x2 +		= (x +		)2 − 2
	x		x2		x2		x

podstawiając to do równania otrzymam :

	1		1
(x +		)2 − 2 − 10(x +		) + 26 = 0
	x		x

	1		1
(x +		)2 − 10(x +		) + 24 = 0
	x		x

	1
biorę t = (x +		) przy założeniu że x ≠ (−2;2)
	x

t² − 10t + 24 = 0 równanie kwadratowe o pierwiastkach : t₁ = 6, t₂ = 4 mam więc :

	1
x +		= 6 ⇒ x2 − 6x + 1 = 0 ⇒ x = 3 ± 2√2
	x

	1
x +		= 4 ⇒ x2 − 4x + 1 = 0 ⇒ x = 2 ± √3
	x

Odp : x = 2 ± √3 v x = 3 ± 2√2

Piotr: fajny sposób

K: Juz wiem czemu to bylo zadanie z gwiazdką, dzieki.

Piotr: ICSP ta metode, ktora pokazales mozna stosowac tylko do rownan w postaci ax⁴ + bx³ + cx² + dx + a = 0 ? PS teraz wychodze ale bylbym wdzieczny za odpowiedz i male wyjasnienie

ZKS: Chyba tylko dla takiej postaci ale niech lepiej ICSP napisze ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.

ZKS:

	1
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 / *		zał. x ≠ 0
	x2

	1		1
ax2 + bx + c + b		+ a		= 0
	x		x2

	1		1
a(x2 +		) + b(x +		) + c = 0
	x2		x

	1		1
a((x +		)2 − 2) + b(x +		) + c = 0
	x		x

	1		1
a(x +		)2) − 2a + b(x +		) + c = 0
	x		x

	1		1
a(x +		)2 + b(x +		) + c − 2a = 0
	x		x

	1
x +		= t
	x

at² + bt + c − 2a = 0

ICSP: Można rozwiązywać tym sposobem inne wielomiany : a) Stosowanie tego dla funkcji kwadratowej jest raczej bezsensowne. Jednak np takie zadanie : Wykaż że równanie : x⁶ + 3x⁵ + 6x⁴ + 7x³ + 6x² + 3x + 1 = 0 nie posiada pierwiastków rzeczywistych. 1^o pokazuję ze x = 0 nie jest pierwiastkiem i zakładam rozwiązywanie równania dla x ≠ 0 w(1) = 1 ≠ 0 dzielę przez x³

	1		1		1
x3 +		+ 3(x2 +		) + 6(x +		) + 7 = 0
	x3		x2		x

teraz korzystam ze dwóch równości :

	1		1
pierwsza : x2 +		= (x +		)2 − 2 − wyprowadzenie pokazane wyżej .
	x2		x

	1		1		1		1
druga : ( x +		)3 = x3 +		+ 3(x +		) ⇒ x3 +		= ( x +
	x		x3		x		x3

	1		1
		)3 − 3(x +		).
	x		x

Sprowadzamy więc nasze równanie do postaci :

	1		1		1		1
( x +		)3 − 3(x +		) + 3((x +		)2 − 2) + 6(x +		) + 7 = 0
	x		x		x		x

	1
podstawiam t = x +
	x

t³ − 3t + 3t² − 6 + 6t +7 = 0 t³ + 3t²+ 3t + 1 = 0 (t+1)³ = 0 t = −1 wiemy że nasze równanie możemy zapisać w postaci :

	1
(x +		+ 1)3 = 0 // x3
	x

(x² + x + 1)³ = 0 a tu już widać sprzeczność. Gratulacja dla tego kto zauwazy ten wzór skróconego mnożenia od razu

Piotr: Dziękuję za odpowiedzi Rozumiem, ze w tym pierwszym co pokazałeś współczynniki przy x⁴ i wyraz wolny oraz x³ i x muszą być takie same ?

ICSP: − równie zwrotne Ta metodę można używać tylko przy rozwiązywaniu równań zwrotnych. ZKS wiem ze można wyprowadzić gotowe wzory Jednak wolę aby uczniowie potrafili rozłożyć wielomian, a nie podstawić do gotowych wzorów

Piotr: to chcialbym zauwazyc ze tam zapisales ax⁴ + bx³ + cx² + dx + a = 0 . a o równaniach zwrotnych do tej pory nie slyszalem ale chyba kapuje o co chodzi a ZKS ładnie to wyprowadził

ICSP: przy założeniu że b = d

Piotr: Jeszcze K moglby to wiedziec

ICSP: da się domyślić po nazwie oraz po współczynnikach równanie które analizowałem

AS: Podaję metodę wyliczenia pierwiastka kwadratowego z wielomianu chyba o to chodziło √4*x⁶ + 20*x⁵ + 17*x⁴ − 8*x³ + 34*x² − 12*x + 9 = 2*x³ + 5*x² − 2*x + 3 − 4*x⁶ −−−−−−− 20*x⁵ + 17*x⁴ − 8*x³ (4*x³ + 5*x²)*5*x² − (20*x⁵ + 25*x⁴) −−−−−−−−−−−−−−−−−− −8*x⁴ − 8*x³ + 34*x² (4*x³ + 10*x² − 2*x)*(−2*x) − (−8*x⁴ − 20*x³ + 4*x²) −−−−−−−−−−−−−−− 12*x³ + 30*x² − 12*x + 9 (4*x³ + 10*x² − 4*x + 3)*3 − (12*x³ + 30*x² − 12*x + 9) −−−−−−−−−−−−−−−−− 0

AS: Pomyłka w adresowaniu − miało być skierowane do problemu podanego przez Zachariasza.