wykladnicza Overplay: Okresl liczbe rozwiazan rownania m(4^x−2^x)=1−m w zaleznosci od parametru m

Godzio: 2^x = t, 4^x = 2^2x = (2^x)² = t² mt² − mt + m − 1 = 0 1^o m = 0 −1 = 0, sprzeczność Brak rozwiązań 2^o m ≠ 0

	⎧	Δ > 0
(*)	⎨	t1t2 > 0
	⎩	t1 + t2 > 0

Dwa rozwiązania

	⎧	Δ > 0
(**)	⎨
	⎩	t1t2 < 0

Jedno rozwiązanie

	⎧	Δ ≥ 0
(***)	⎨	t1t2 > 0
	⎩	t1 + t2 < 0

Brak rozwiązań

	⎧	Δ = 0
(****)	⎨	t1t2 > 0
	⎩	t1 + t2 > 0

Jedno rozwiązanie (*****) Δ < 0 Brak rozwiązań Chyba wszystko wyczerpałem, mam nadzieję, że się nie pomyliłem

Godzio: Teraz patrz, że (*) można połączyć z (****), dając warunek Δ ≥ 0

AS: Moje rozwiązanie

	1 − m
4x − 2x =
	m

Podstawienie: 2^x = t , 4^x = t² Stąd równanie

	1 − m
t2 − t −		= 0
	m

	1 − m
Δ = 1 + 4*		>= 0
	m

4 − 3*m
	>= 0 , m = 0 odpada,gdyż mianownik staje się zerem
m

Do rozwiązania nierówność m*(4 − 3*m) > 0 co daje w rozwiązaniu m ∊ (0.4/3>

zd: Mam jeszcze jedno pytanie, co gdyby przy x byla wartosc bezwzgledna jak zmienilo by sie rozwiazanie?

Maslanek: Nie zmieniłoby się t=2^x; t>0 Podobnie: n=2^|x|; n>0 AS, Twoje rozwiązanie jest nieprawidłowe.

Basia: zmieniłoby się dla t = 2^|x| musi być t≥1 i trzeba to uwzględnić

zd: czyli jezeli bylaby wartosc bezwzgledna to odpadly by przypadki (**) i (***)?

Maslanek: No tak... Debil −,−

Basia: nie zd to byłyby w ogóle inne warunki; oprócz warunku na Δ ale ja bym to rozwiązywała inaczej; trochę tak jak Godzio, a trochę tak jak AS byłoby m(t²−t) = 1−m 1. m=0 0 = 1 sprzeczność czyli dla m=0 nie ma rozwiązania 2. dla m≠0 mamy

	1−m
t2 − t =
	m

funkcja f(t) = t²−t = t(t−1) przyjmuje wartości z przedziału <−¹₂; +∞) i w przedziale <¹₂;+∞) jest rosnąca ponieważ t≥1 ⇒ t∊<1;+∞) i w tym przedziale moja funkcja jest rosnąca ⇒ przyjmuje wartości z przedziału <0; +∞) (wykres tej funkcji to tylko niecała część rosnącej gałęzi paraboli) czyli

	1−m
dla		< 0 nie ma rozwiązania
	m

	1−m
dla		≥0 jest jedno rozwiązanie
	m

rozwiązać te nierówności i koniec

zd: a jezeli chcialbym robic to sposobem takim jak Godzio to jakie warunki musialbym zapisac?

Basia: dla t₁, t₂≥1 nie tak łatwo te warunki sformułować niestety analogia tu nie działa i nie wystarczy napisać t₁*t₂ ≥ 1 t₁+t₂ ≥ 2 bo to za mało; przykład t₁ = ¹₂ t₂=10 prawdę mówiąc w tej chwili nie wiem jaki warunek byłby wystarczający wydaje mi się, że niczego podobnego do wzorów Vieta'a nie da się sformułować trzeba by więc było: mt²−mt +(m−1) = 0 Δ= m² −4m(m−1) = −3m² + 4m = m(4−3m) ≥ 0 dla m=⁴₃ mamy Δ=0

	m		1
t0 =		=		nie spełnia warunków
	2m		2

dla m∊(0; ⁴₃) niestety tylko tak

m−√−3m2+4m
	≥ 1
2m

m+√−3m2+4m
	≥ 1
2m

ponieważ już wiemy, że m>0 mamy m − √−3m²+4m ≥ 2m −√−3m²+4m ≥ m sprzeczność bo lewa ujemna, a prawa dodatnia m + √−3m²+4m ≥ 2m √−3m²+4m ≥ m /()² −3m²+4m ≥ m² −4m² + 4m ≥ 0 4m(1−m) ≥ 0 m∊<0;1> ostatecznie: m∊(0;1) czyli dla m∊(0;1) mamy jedno rozwiązanie a dla m∊(−∞;0>∪<1;+∞) nie ma rozwiązania o ile się tam gdzieś nie pomyliłam w rachunkach

Basia: poprawka: m∊(0;1> ⇒ jedno rozwiązanie m∊(−∞;0>∪(1;+∞) ⇒ nie ma rozwiązania