Jak wyliczyć całkę ∫ (8x^3)/(x + 1 )^4 dx ? Paweł: Jak wyliczyć całkę ∫ (8x³)/(x + 1 )⁴ dx ? 8 ∫ x³ = ∫ x³/ (x+1)⁴ = ∫A/(x+1) dx +∫B/(x+1)² dx +∫ C/(x+1)³ dx + ∫ D(x+1)⁴ dx /*(x+1)⁴ I dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc

Krzysiek: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E3+%2F%28x%2B1%29%5E4+ popatrz na: "Partial fraction expansion:" 'show steps;

Paweł: na trzech przeglądarkach "show steps" nie działa. Przed zadaniem pytania staram się użyć najpierw wolframalpha.

Krzysiek: no coś nie działa ale i tak możesz zauważyć ile wynosi A,B,C,D

Paweł: Ok, ale chciałbym zobaczyć jak do tego doszło.

Krzysiek: x³ =A(x+1)³ +B(x+1)² +C(x+1) +D i porównujesz współczynniki przy tych samych potęgach i rozwiązujesz układ równań

Paweł: Siedzę już trochę i nadal nie rozumiem jak mam to zrobić. Proszę o pomoc przynajmniej z A.

Krzysiek: akurat z A jest bardzo łatwo, od razu widać że po prawej stronie przy x³ jest tylko A więc porównując współczynniki przy x³ : po lewej masz 1 a po prawej A czyli: 1=A po prostu musisz wszystko wymnożyć po prawej stronie a po lewej masz: x³ +0*x² +0*x +0 i porównujesz współczynniki przy odpowiednich potęgach

Mila: II sposób (zamiast przekształcać) Obieram x=−1 L=(−1)³=−1, P=A*0+B*0+C*0+D=D ⇒D=−1 x=0 L=0, P=A+B+C−1⇔A+B+C=1 x=1 L=1, P=A*2³+B*2²+2C−1⇒8A+4B+2C=2⇔4A+2B+C=1 x=−2 L=(−2)³=−8 P=A*(−1)³+B*(−1)²−C−1=−A+B−C−1=−8⇔−A+B−C=−7 Mamy układ A+B+C=1 4A+2B+C=1 −A+B−C=−7 dodaję (1) i (3) otrzymuję 2B=−6⇔B=−3 podstawiam do (1)i (2) A+(−3)+C=1 4A+2(−3)+C=1 ⇔A+C=4 4A+C=7 odejmuję stronami 3A=3⇔A=1 z (1) C=4−1=3 A=1 B=−3 C=3 D=−1 Jeśli masz pytania, to jestem na forum.

pigor: ... a może chciałbyś np. tak :

	8x3		(t−1)3
∫		dx = |x+1=t ⇒ x=t−1 i dx=dt| = 8 ∫		dt =
	(x+1)4		t4

	t3−3t2+3t−1
= 8 ∫		dt = 8 ∫ (1t−3t−2+3t−3−t−4) dt =
	t4

3

3

1

3

3

1

= 8(lnt +

−

+

)+ C= 8(lnt +

−

+

)+ C

t

2t2

t3

x+1

2(x+1)2

(x+1)3

Paweł: jesteście Wielcy, dziękuje!

Mila:

Paweł: Tak na marginesie to jeszcze widać, że sporo brakuje mi do poziomu stopnia II na pwr. Mam jeszcze miesiąc, muszę się wziąć ostro do roboty.

Nas: Witam. Mam pytanie do Mily skąd się wzięły akurat te wartości "x" jakie zastosowałaś w swoim sposobie? Pozdrawiam.

Mila: Taka równość i chcę wyznaczyć A,B,C,D x³ =A(x+1)³ +B(x+1)² +C(x+1) +D Dobieram x tak, aby otrzymać łatwe równanie ze względu na kolejne współczynniki,:A,B,C,D I tak dla x=−1 wyzerowały się 3 składniki mam (−1)³=D spróbuj sam dobrać inne x−sy. też Ci wyjdzie. Staraj się pytać od razu, bo zapomina się po kilku dniach.

Nas: Dzięki właśnie z "−1" i "0" nie mam problemów ale z reszta to chyba zgadywanie.

Nas: No próbowałem ale nie widzę tego na jakiej zasadzie dobrana została liczba 1 i −2 ?