Ciągi Ania: Proszę o pomoc. Nie rozumiem za bardzo tych ciągów. zad.1 Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz je wiedząc, że czwarta liczba jest mniejsza od drugiej o 8, a trzecia jest mniejsza od pierwszej o 24. zad. 2 Wykaż, że 1+7+13+...+(6n−5)=n(3n−2) zad.3 Ciąg (a_n) jest arytmetyczny. Wyznacz ten ciąg wiedząc, że iloczyn pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 18, a wyraz o numerze 15 jest równy 24.

pazio: pozwól, że Ci pomogę

Basialitka@op.pl: Objętość graniastosłupa prostego wynosi 180cm do szejśćianu . Oblicz jego wysokość wiedząc ,ze poctawą graniastosłupa jest trapez o podstawach równych 3cm i 6cm oraz wysokośći równej 2 cm

pazio: 1. ciąg geometryczny, tzn że masz jakiś pierwszy wyraz a₁ i iloraz q, a to oznacza, że Twój ciąg wygląda: a₁, a₁*q, a₁*q²... skoro masz tylko 4 wyrazy, to są to: a₁q⁰(czyli a₁), a₁q¹(czyli a₁q), a₁q², a₁q³ czwarta liczba, czyli a₁q³ mniejsza od drugiej(a₁q) o 8, czyli: a₁q³ + 8 = a₁q (swoją drogą, jeśli jakaś "dalsza" liczba jest mniejsza od "bliższej", to to Ci podpowiada, że ciąg jest malejący, jeśli ciąg geometryczny jest malejący, to jego iloraz jest jakimś ułamkiem np.

	1
		)
	2

trzecia liczba(a₁q²) mniejsza od pierwszej(a₁) o 24, czyli: a₁q² +24 = a₁ i masz układ równań z dwiema niewiadomymi a₁q³ + 8 = a₁q ∧ a₁q² + 24 = a₁ z drugiego równania wyznaczas sobie a₁: a₁q² − a₁= −24 a₁(q² −1) = −24 patrzysz, co się dzieje dla q=−1 ⋁ q=1: 0≠−24 sprzeczność ⇒ więc wiesz, że Twój iloraz jest na pewno różny od −1 i 1 więc q∉{−1, 1}:

	−24
a1 =
	q2−1

wracasz do pierwszego równania: a₁q³ − a₁q = −8 a₁q(q² − 1) = −8 podstawiasz do niego to, co wyznaczyłaś:

−24
	q(q2 − 1) = −8
q2−1

możesz skrócić: −24q = −8

	1
q =
	3

więc a₁ = −27

Michał Szczotka: że się wtrącę za nim ktoś drugie napisze mnie taki ziomek uczył że jak jest wykaż to się robi jakimś cmykiem typu indukcja ale to juz jest poziom raczej studia więc chyba Aniu powinnaś dać sobie spokój z tym zadaniem

pazio: 2. jest to ciąg arytmetyczny o jakimś wyrazie pierwszym a₁ i różnicy r, czyli Twój ciąg wygląda tak: a₁ + 0*r(czyli a₁), a₁ + 1*r(czyli a₁+r), a₁ + 2r itd.. ten ciąg ma pierwszy wyraz a₁ = 1 i różnicę r = 6 Twój n−ty wyraz ciągu ma postać 6n−5 oznacza to, że podstawiając kolejno 1, 2, 3... powstaną Ci te wyrazy, tzn. 1, 7, 13... po lewej stronie równania masz sumę ciągu arytmetycznego i jest na to wzorek

	a1+an
Sn =		n
	2

dla tych danych to wygląda tak: (jeśli masz masz coś do wykazania, to zaczynasz od lewej strony równania, dochodząc do prawej → przepraszam, że tłumaczę jak dla ułoma, ale skoro nie rozumiesz, chcę byś zrozumiała )

1		1		1
	n(1+6n−5) =		n(6n−4) =		n*2(3n−2) = n(3n − 2)
2		2		2

cnd

pazio: dlaczego, coś Ty w liceum jest mnóstwo dowodów

pazio: a poza tym indukcja jeszcze ze 2, 3 lata temu była na maturze więc naprawdę bez przesady

Bogdan: zad. 2 Wykaż, że 1+7+13+...+(6n−5) = n(3n−2) Mamy tutaj ciąg arytmetyczny (a_n): a₁ = 1, r = 6, a_n = 6n − 5. Obliczamy liczbę wyrazów ciągu k: 6n − 5 = 1 + (k − 1)*6 6n − 5 = 1 + 6k − 6 k = n

	1
Stosujemy wzór na sumę n wyrazów w ciągu arytmetycznym: Sn =		n(a1 + an)
	2

	1		1		1
Sn =		n(1 + 6n − 5) =		n(6n − 4) =		n*2(3n − 2) = n(3n − 2)
	2		2		2

pazio: 3. ciąg arytmetyczny, czyli znów masz do czynienia z a₁ i jakąś stałą(którą jest r → różnica) którą dodajesz do kolejnych wyrazów: a₁5 = 24 tzn. a₁ + 14r = 24 ⇒ a₁ = 24 − 14r a₁*a₃ = 18 a₁(a₁ + 2r) = 18 podstawiasz sobie to, co wyznaczyłaś wcześniej z piętnastego wyrazu: (24 − 14r)(24 − 14r +2r) = 18 (24 − 14r)(24 − 12r) = 18

	9
(12 − 7r)(12 − 6r) =
	2

	9
144 − 84r +42r2 − 72r =
	2

	9
42r2 − 156r + 144 −		= 0
	2

(może gdzieś się walnęłam bo to jakieś takie brzydkie równanie)

	9
Δ = 1562 − 4*42*(144 −		)
	2

i tu niestety polegnę... ale zamysł jakiśtam przekazałam mam nadzieję i mam nadzieję, że dasz radę z rachunkami

pazio: dla Basialitka@op.pl: szukasz H=? V = 180 cm³

	1
a = 3cm ∧ b = 6cm ∧ h =2cm ⇒ Pp =		*2(3+6) = 9 cm2
	2

V=P_p*H 180=9*H ⇒ H = 20 cm