Objetosc i pole obszaru Bartek: Witajcie, Musicie mi pomoc ,mam 2 zadanka: 1.Mam do obliczenia objętość bryły , która powstaje przez obrót krzywej y=√sinx³, x∊<0,π>, wokół osi OX. 2. A także obliczyć pole obszaru D={(x,y)∊R² 1≤x≤e ,lnx≤y≤2xlnx}

Bartek: 1. Rozwiązać mam taką całkę ∫ sin³x dx , jakaś podpowiedź albo rozwiązanie

Krzysiek: ∫sin³ x dx=∫sinx(1−cos² x) dx podstawienie: t=cosx

Basia: sin³x = sinx*sin²x = (sinx)(1−cos²x) = sinx − sinx*cos²x ∫sin³x dx = ∫sinx dx − ∫sinx*cos²x dx druga przez podstawienie t = cosx

Basia: ad.2 P_D = ₁∫^e [ 2xlnx − lnx ] dx

Bartek: to 2 to przez czesci?

Bartek: a w tym 1 moglibyście to rozwinąć , bo z całek trygonometrcznych słaby jestem , wiec muszę się podszkolić

Basia: jeżeli pytasz o całki ∫xlnxdx i ∫lnxdx to oczywiście przez części można też to zapisać tak: P_D = ₁∫^e(2x−1)lnx dx i to policzyć przez części (mniej rachunków)

Bartek: Tak to wiem , to właśnie chciałem przez części

Basia: ∫sinxdx = −cosx ∫sinx*cos²xdx = t = cosx dt = −sinx dx sinxdx = −dt

	t3		cos3x
= −∫t2dt = −		= −
	3		3

ostatecznie:

	1		1
J = −cosx −		cos3x = −cosx(1 −		cos2x)
	3		3

Bartek: Basiu dziękuję Ci za pomoc. Pozdrawiam

Bartek: Jeszcze proszę o jedną prostą całkę ∫lnx dx , wiem ze przez podstawienie t=lnx ,czyli

	dx
dt=		...
	x

narazie tyle wiem , a wydaje sie prosta

Godzio:

	1
∫lnxdx = ∫(x)'lnxdx = xlnx − ∫x *		dx = xlnx − ∫dx = xlnx − x + C
	x

Bartek: Sory Gondzio , ale ja jestem zagłupi bo nie jestem w stanie tego zrozumieć , a możesz dokończyć ta calke moim sposobem , ktory zacząłęm z góry dzieki

Krzysiek: 'Gondzio' liczył przez części bo tylko tak to policzysz, nie przez podstawienie.

Godzio: A da się tak ?

	dx
∫lnxdx = [t = lnx ⇒ dt =		, x = et ⇒ dx = etdt ] = ∫tetdt =
	x

t * e^t − ∫e^tdt = t * e^t − e^t + C = lnx * e^lnx − e^lnx + C = lnx * x − x + C

Godzio: Naczy dać, da, ale na około

Bartek: aaa widzsz, czyli sobie ułatwił wpisując "X" przed "lnx"

Krzysiek: a jak policzyłeś całkę z ∫te^t dt ?

Bartek: skąd e^t? chyba wezmę ten sposób przez cześci wydaje sie latwiejszy

Bartek: Policzyłem tą całkę ∫lnx dx , dodając sobie przed "lnx" "x" , czyli coś takiego mi powstało ∫xlnx dx,czyli przez części wzór: ∫f*g^{`</sup>=f*g−∫g*f<sup>`} więc:za

	1x2
g` podstawiłem sobie x ,czyli g=
	2

	1
f podstawiłem lnx ,czyli f`=
	x

Wynik mi zatem wyszedł :

	1x2		1x3		1
lnx*		−		*
	2		6		x

Proszę tylko o sprawdzenie mnie , bo nie jestem pewien czy dobrze robię z góry dzięki bystrzaki

Krzysiek: przecież nie możesz sobie dopisać 'x' ... przecież to zmienia całe zadanie Godzio pokazał jak rozwiązać przez części u'=1 v=lnx czyli: u=x

	1
v'=
	x

	1
∫lnxdx=xlnx −∫x		dx =...xlnx −x +C
	x