Oblicz długości boków trójkąta Mati00721: Miara największego kąta w trójkącie jest dwa razy większa od miary jego najmniejszego kąta. Oblicz długości boków tego trójkąta, jeżeli są one kolejnymi liczbami naturalnymi.

Basia: Mati00721 próbowałam to policzyć na różne sposoby ale twierdzenie sinusów nic nie daje no tylko tyle, że n>3 może z tw.cosinusów, ale rachunki będą paskudne jesteś pewny, że dobrze przepisałeś pełną treść zadania ?

Basia: P.S. mogłam się też pomylić w rachunkach, jeszcze sprawdzę, ale Ty też sprawdź

ania: te boki to 4,5,6

ania: z twierdzenia sinusów tylko

ania: no i oczywiście trygonometria ;>

Aga1.:

n		n+2		n+1
	=		=
sinα		sin2α		sin(1800−3α)

n		n+2		n+2		2
	=		⇒n=		⇒n=
sinα		2sinαcosα		2cosα		2cosα−1

n		n+1
	=
sinα		sin(1800−3α)

n		n+1
	=
sinα		sin3α

n		n+1
	=
sinα		sinα(3cos2α−sin2α)

nsinα(3cos²α−sin²α)=(n+1)sinα /:sinα , bo sinα>0

2		2
	(3cos2α−(1−cos2α))=		+1 /*(2cosα−1)
2cosα−1		2cosα−1

2(4cos²α−1)=1+2cosα 8cos²α−2cosα−3=0 Δ=100

	3		−1
cosα=		v cosα=		−−−−odpada, bo cosα>0
	4		2

	2
n=		=4
	3   2* −1   4

n+1=5 n+2=6

Aga1.: Lub prościej

n
	=U{n}2}{sin2α}
sinα

n		n+2
	=
sinα		2sinαcosα

2ncosα=n+2

	n+2
cosα=
	2n

i teraz z twierdzenia cosinusów n²=(n+1)²+(n+2)²−2(n+1)(n+2)cosα Po podstawieniu za cosα i wykonaniu działań 2n²−6n−8=0/:2 n²−3n−4=0 n=4 Vn=−1 odpada n+1=5 n+2=6

Bogdan: Tak samo, ale jeszcze prościej przez zmianę oznaczeń (bez Δ):

n−1		n+1		n+1
	=		⇒ 2sinαcosα * (n−1) = sinα * (n+1) ⇒ cosα =
sinα		sin2α		2(n−1)

	n+1
(n−1)2 = n2+(n+1)2−2n(n+1)*cosα ⇒ n2−2n+1=n2+n2+2n+1−2n(n+1)*
	2(n−1)

n(n+1)2		n−1
	=n2+4n /*		⇒ n2+2n+1=n2−n+4n−4 ⇒ n=5
n−1		n

Odp.: n−1=4, n=5, n+1=6