Całki trygonometryczne
Jolka: Proszę o pomoc z obliczeniem takiej całki:
∫cos5x*cos7x dx
4 wrz 14:27
Artur_z_miasta_Neptuna:
kłania się wzór pewien:
| | α+β | | α−β | |
cosα + cos β = 2cos |
| cos |
| |
| | 2 | | 2 | |
4 wrz 14:35
Artur_z_miasta_Neptuna:
α=12
β=2
i całka jest już formalnością
4 wrz 14:36
Trivial:
Dla uproszczenia podstawiam u = e
ix wtedy ze wzorów Eulera mamy:
| | 1 | | 1 | |
cos5x*cos7x = |
| (u5 + u−5)(u7 + u−7) = |
| (u12 + u−2 + u2 + u−12) |
| | 4 | | 4 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
= |
| *( |
| (u12+u−12) + |
| (u2+u−2)) = |
| (cos(12x) + cos(2x)) |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
| | 1 | | 1 | | sin(12x) | | sin(2x) | |
∫cos5xcos7xdx = ∫ |
| (cos(12x) + cos(2x))dx = |
| *( |
| + |
| ) + c. |
| | 2 | | 2 | | 12 | | 2 | |
4 wrz 14:38
Mila:
Jeśli nie znasz wzorów Eulera.
∫cos5x*cos7x dx
cosA+cosB=2cos(7x)*cos(5x)
| A−B | |
| =5x [wzór podał Artur] |
| 2 | |
A+B=14x
A−B=10x
2A=24x
A=12x
B=2x
| | 1 | |
∫cos5x*cos7x dx= |
| ∫(cos(12x)+cos(2x))dx= |
| | 2 | |
| | 1 | | 1 | | 1 | |
= |
| [ |
| sin(12x)+ |
| sin(2x)]+C |
| | 2 | | 12 | | 2 | |
4 wrz 16:21
Jolka: dziękuję ślicznie
4 wrz 16:58