nuini rokoko: Wykaż, że liczba a=√9−4√5−√9+4√5 jest całkowita.

Maslanek: 9−4√5=(2−√5)² 9+4√5=(2+√5)²

Saizou : p{9−4√5]=√(2−√5)²=l2−√5l=−2+√5 √9+√5=√(2+√5)²=l2+√5l=2+√5 −2+√5−(2+√5)=−2+√5−2−√5=−4 cnw

ZKS: Zauważ że w środku masz wzory skróconego mnożenia. (a − b)² = a² − 2ab + b² część wymierna to a² + b² więc 9 część niewymierna to −2ab czyli −4√5 a² + b² = 9 −2ab = −4√5 ⇒ ab = 2√5 Teraz podstawiając jeżeli a = 2 to b = √5 sprawdzamy (2 − √5)² = 4 − 4√5 + 5 = 9 − 4√5 czyli jest to prawdą Korzystając ze wzoru √a² = |a| zapisujemy √(2 − √5)² − √(2 + √5)² = |2 − √5| − |2 + √5| 2 − √5 jest < 0 więc następuje zmiana znaku zgodnie z definicją wartości bezwzględnej natomiast 2 + √5 jest > 0 więc zostawiamy znaki bez zmiany i opuszczamy wartość bezwzględną −(2 − √5) − (2 + √5) = −2 + √5 −2 − √5 = −4 a −4 należy do zbioru liczb całkowitych.

Piotr: teraz rokoko nie moze juz miec watpliwosci

ZKS: Jeszcze inny sposób podnosimy obydwie strony do kwadratu lecz najpierw zauważamy że √9 − 4√5 < √9 + 4√5 ⇒ √9 − 4√5 − √9 + 4√5 < 0 więc a < 0 a = √9 − 4√5 − √9 + 4√5 / ² a² = 9 − 4√5 − 2√(9 − 4√5)(9 + 4√5) + 9 + 4√5 a² = 18 − 2√81 − 80 a² = 18 − 2 a² = 16 ⇒ a = ±4 jednak założyliśmy na początku że a < 0 więc bierzemy tylko a = −4.

AS: Można też skorzystać z wzoru

	a + c		a − c
√a ± √b = √		± √		gdzie c = √a2 − b
	2		2

a = 9 , b = 80 , c = √9² − 80 = √1 = 1

	9 + 1		9 − 1
√9 + 4√5 = √		+ √		= √5 + 2
	2		2

	9 + 1		9 − 1
√9 − 4√5 = √		− √		= √5 − 2
	2		2

√9 − 4√5 − √9 + 4√5 = √5 − 2 − (√5 + 2) = −4