Całka Maslanek: Obliczyć: ∫x^e1/x

Trivial: Co tam jest napisane?

Maslanek:

	1		e
Całka z x do potęgi e do potęgi		, czyli: całka z x do potęgi		. Oczywiście po x.
	x		x

Piotr: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E%28%28e%5E%281%2Fx%29%29

Trivial: Czyli ∫x^e/xdx? Tej całki chyba nie da się rozwiązać standardowymi metodami.

Maslanek: Ja bym to dziabnął tak: ∫x^e/x = ∫e^lnxe/x = ∫e^e/x*lnx. t=lnx

	1
dt=		dx
	x

	eet
∫ee/x*lnx = ∫eetdt =		+ C = eet−1 + C = ee*lnx−1 + C.
	e

Maslanek: Ale właśnie nie wiem gdzie to dx powinno stać Bo jeśli na górze, to byłoby tak. A jeśli na dole, to lipa?

Trivial: dx nie może być "na górze".

Piotr: policz pochodna z tego co uwazasz ze jest rozwiazaniem

Maslanek: Jeśli tak, to leży?

Maslanek: No zaraz... Pochodna z e^et=e^et*e. Czyli całka powinna być e^et−1. Co jest nie tak?

Maslanek: No dobra. Więc jest nierozwiązywalna standardowymi metodami?

Piotr: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28e%5E%28e*lnx-1%29%2B5%29%27

Piotr: skoro Trivial i wolfram tak twierdzi to chyba tak

Maslanek: No dobra... Ale ja nie chcę x^e−1 Chcę rozwiązanie swojej wyimaginowanej całki, całkiem z nieba

Piotr: link z 19:31

Maslanek: Nie o to mi chodziło . Chodziło mi o poprawność tego małego: ∫e^et dt = e^et−1 + C. To jest ok, nie? Pomijając całość przed.

Piotr: tak trudno sobie wpisac http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+e%5E%28e*t%29

Maslanek: Zapomniałem o takiej możliwości

Trivial: Maslanek, chcesz ciekawą całkę?

	dx
∫
	x√1+x2

Maslanek: Ja nie umiem całkować jeszcze dobrze W sumie wcale nie umiem. Jak coś chapnę to usiądę i się męczę jak świnia

Trivial: Ale to prosta całka jest. Trzeba tylko coś zauważyć. Mogę dać wskazówkę jakiego podstawienia użyć.

Maslanek:

	1		1
∫		dx = ∫(		)x/2 dx
	px{1+x2}		√1+x2

Maslanek: Pasowałoby t=arcsinx x=sint

	1
dt=		dx
	√1+x2

	dx
∫(		)x/2 = ∫dtsint
	√1+x2

Trivial: Co tu zaszło. o.o

Maslanek: Dobra.. Zepsułem trochę

	dx2/x
∫(		)x/2
	√1+x2

Krzysiek: pochodna arcsin jest trochę inna...

Trivial: To nie jest pierwiastek x−tego stopnia, tylko x*√1+x².

Maslanek: Aha... To arctg x jak się nie mylę

Maslanek: Też nie pierwiastkowi z temu bylaby równa Pochodnych funkcji odwrotnych do trygonometrycznych nie znam dobrze Namacalnie można by powiedzieć

Trivial: Podpowiedź numer jeden: tu nie trzeba korzystać z funkcji trygonometrycznych, ani też arcusów. Można się łatwo obejść bez tego.

Maslanek: Aha To dużo zmienia Ta podpowiedź z 20:16 jest lepsza od reszty

Maslanek: Próbowałem z t=√x²+1⁻¹, ale brakuje jakiegoś magicznego mianownika...

Krzysiek: ja tam nie wiem jak łatwo Trivial zamierza to obliczyć mi się nasuwa od razy rozwiązanie przez podstawienie Eulera które trzeba znać, więc jak ktoś dopiero się uczy całek to może być ciężko takie podstawienie wymyślić...

Maslanek: Już to gdzieś (tutaj) widziałem i słyszałem ) Pierwiastek przyrównany do czegoś. Do czego?

Trivial: Euler zadziała, ale można znacznie prościej. Pomnóż licznik i mianownik przez x oraz zastosuj podstawienie u = √1+x² ⇔ u² = 1+x² ⇔ ...du = ...dx

ZKS: Trivial można tak? x = tg(t) dx = (tg²(t) + 1)dt

	tg2(t) + 1		√tg2(t) + 1
∫		dt = ∫		dt =
	tg(t)√tg2(t) + 1		tg(t)

	sin2(t) + cos2(t)		1
tg2(t) + 1 =		=
	cos2(t)		cos2(t)

	1   cos(t)		1
= ∫		dt = ∫		dt
	tg(t)		sin(t)

Maslanek:

	1		x
∫		dx = ∫		dx = /// = ∫du = u = √x2+1 + C.
	x√x2+1		√x2+1

u=√x²+1 du = U{x}{√x²+1 dx Dobrze? Właśnie, kiedy Krzysiek dał tego Eulera, to takie podstawienie zrobiłem, ale nie miałem tego x w liczniku przez co wszystko umarło A podstawienie Eulera jak wygląda?

Trivial: Podstawienie Eulera jest bardzo pracochłonne i raczej nie dla początkujących. Wygląda tak: √1+x² = u − x /² 1 + x² = u² + x² − 2ux

	u2−1		u2−1
x =		→ √1+x2 = u−		= ...
	2u		2u

dx = ...du Wstawia się to wszystko potem z powrotem do całki.

Maslanek: Aż takie pracochłonne nie jest i jakoś wybitnie hardcorowe też nie Całkiem przyjemne do ogarnięcia (przynajmniej na liczbach określonych). Zarzuć jeszze jaką całeczką Pobawim się Tylko taką przyziemną

Trivial: Jeszcze tej nie rozwiązałeś. Pytałeś czy dobrze − źle! → nie potrafimy mnożyć.

Trivial: ZKS, mi tym podstawieniem wychodzi

	cosudu		1		x
∫		= −		+ c = −		+ c
	sin2u		sinu		√x2+1

Maslanek: Jak nie potrafimy mnożyć? Czego?

Vizer: Witam Panie Trivial. Co tam słychać? Mamy kampanię wrześniową, czy wakacje do października?

Trivial: Wakacje pełną parą.

Trivial: Maslanek,

1		x
	≠		.
x√1+x2		√1+x2

ZKS: Skoro tak to musiałem gdzieś coś popsuć.

Trivial: Vizer, głosowałeś na kolor?

Maslanek: No fakt

	x
∫ U{1}{x√x2+1 dx = ∫		dx
	x2√x2+1

u=√x²+1 u²=x²+1

	x
du=		dx
	√x2+1

	x		du		du		du		A
∫		dx = ∫		= ∫		= ∫		= ∫ (		+
	x2√x2+1		x2		u2−1		(u−1)(u+1)		u−1

	B
		) du
	u+1

	1		1
///// u(A+B)+A−B =1 ⇒ A+B=0 i A−B=1 ⇒ A=		i B=−		.
	2		2

	1		1		1
= ∫		du − ∫		du =		(ln|u−1|−ln|u+1|) =
	2(u−1)		2(u+1)		2

	1
		(ln|√x2+1−1|−ln|√x2+1+1|) + C.
	2

Teraz?

Trivial:

Vizer: Głosowałem