całka (2x^3 + 2x^2 -x + 1)/ (( x^2 -1)(x^2 - 9)) dx ja: Proszę o pomoc w obliczeniu całki wymiernej ∫ (2x³ + 2x² −x + 1)/ (( x² −1)(x² − 9)) dx

Krzysiek: rozbij ułamek na ułamki proste

Mila:

	2x3 + 2x2 −x + 1
∫		dx=
	( x2 −1)(x2 − 9)

	2x3 + 2x2 −x + 1
=∫		dx=[ teraz ułamki proste]
	( x −1)(x+1)(x−3)(x+3)

	A		B		C		D
=∫(		+		+		+		)dx=
	x−1		x+1		x−3		x+3

dokończ, pytaj w razie trudności

ja: rozbiłem, (2x³ + 2x² − x + 1) / (x² − 1) (x² − 9 ) = (Ax − B)/ ( x² − 1 ) + (Cx − D)/ ( x² − 9 ) 2x³ + 2x² −x + 1 = (Ax − B)( x² − 9 ) + (Cx − D)( x² − 1 ) 2x³ + 2x² −x + 1 = Ax³ − 9Ax − Bx² + 9B + Cx³ − Cx − Dx² + D stałe: 2 = A + C 2 = −B −D −1 = −9A −C 1 = 9B +D stałe po redukcji 2 = A + C 3 = 8B −1 = −9A − C −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− B = 3/8 C = 17/9 A = 1/9 Czy dobrze robie ?

ja: dzięki Mila, dosyć długo pisałem i nie wiedziałem, że ktoś odpisał. Przechodzę teraz do analizy. Teraz widzę, że trochę inaczej zostało rozbite na ułamki proste.

Mila: cd. 2x³ + 2x² −x + 1 =A(x+1)(x²−9)+ B(x−1)(x²−9)+ C(x+3)(x²−1)+ D(x−3)(x²−1) Można wymnożyć z prawej strony i ułożyć układ równań. Robię inaczej: Obieram x=1 ( tak dobieram wartość, aby coś się zerowało)

	1
L=4 , P=−16A stąd: −16A=4⇔A=−
	4

obieram x=−1

	1
L=2; P=0+B(−1−1)*(1−9)+0+0=B*16⇒16B=2 ⇔B=
	8

obieram x=3 L=2*3³+2*3²−3+1=54+18−2=70; P=0+0+C*6*(9−1)=

	35
=48C⇒48C=70⇔C=
	24

Obieram x=−3

	2
L=−32; P=0+0+0+D*(−3−3)*(9−1)=−48D⇔−48D=−32⇔D=
	3

Obliczam całkę

1

dx

1

dx

35

dx

2

dx

=−

∫

+

∫

+

∫

+

∫

=

4

x−1

8

x+1

24

x−3

3

x+3

	1		1		35		2
=−		ln|x−1|+		ln|x+1|+		ln|x−3|+		ln|x+3|+C
	4		8		24		3

ja: Czy możesz mi wyjaśnić jak wyszło dla B = 1/8 oraz C 35/24 ? nie rozumiem twojego zapisu. Dzięki!.

Mila: L=2x³ + 2x² −x + 1 =[dla x=−1] =2*(−1)³+2*(−1)²−(−1)+1=−2+2+1+1=2 P=A*(−1+1)*(1−9)+B*(−1−1)*(1−9)+C*(−1+3)*(1−1)+D*(−1−3)*(1−1)= =0+B*(−2)*(−8)+0+0=16B i to ma być równe Lewej stronie, czyli 16*B=2 /:16

	2		1
B=		=
	16		8

Analizuj i obliczaj dalej podobnie.