Zadanka Lapa: Chce sprawdzic czy dobrze rozwiazalem: 1) lim(xsin¹_x) przy x→0

	sin1x		sin1x
lim(x21xsin1x)=lim(x*1x*		)=lim		)
	1   x		1   x

zmieniamy x→0 na ¹_x→0 i wyniki wynosi 1 2)teraz mam problem z limx²sin¹_x przy x→0 prowadze dzialanie analogicznie do poprzedniego i wychodzi mi

	sin1x
lim(x*		) czy mam to liczyc w ten sposob ze przy ulamku z sinusem za x→0
	1   x

zamieniam ¹_x→0 a przy wolnym x−ie zostawiam po prostu x→0?. Wtedy wynik wynosic bedzie "0" 3)lim¹_xsin¹_x przy x→0 prosze o rozwiazanie. Czy bedzie to +∞?

Basia: ad.1 przykro mi, ale źle

	1		1
jeżeli x→0 to		→ +∞ lub		→ −∞
	x		x

musisz policzyć lim_x→0⁺ i lim_x→0⁻ −1 ≤ sin¹_x ≤ 1. x→0⁺ (czyli x>0) −1*x ≤ x*sin¹_x ≤ 1*x i z tw. o trzech ciągach masz lim_x→0⁺ [x*sin¹_x] = 0 2. x→0⁻ czyli x<0 −1*x ≥ x*sin¹_x ≥ 1*x i analogicznie czyli lim_x→0[x*sinx] istnieje i = 0

Basia: drugie i trzecie liczysz identycznie

Lapa: mam jeszcze pytanie skad wiadomo ze sin¹_x miesci sie w <−1:1> ?

Basia: no przecież sin(wszystko jedno czego) ∊ <−1;1>

Lapa: aaa no tam zapomnialem ze wyraz przed sinusem okresla wachania funkcji a wyraz zmiennej sinusa okresla dlugosc jego okresu. Dzieki, inaczej teraz na to spojrzalem

Lapa: Zrobilem 2−gi analogicznie do pierwszego ale na trzeci to juz nie dziala jakas podpowiedz?

Basia: nie mam w tej chwili pomysłu; na pewno to ma być tak ?

	1		1
limx→0		*sin
	x		x

Basia: tak wprost to się chyba nie da

	1
podstawmy y =
	x

przy x→0⁺ y→+∞ przy x→0⁻ y→ −∞ czyli

	1		1
limx→0+		*sin		= limy→+∞ y*siny
	x		x

a ta granica nie istnieje bo dla ciągu

	π
yn = (4n+1)*		mamy
	2

	π		π		π
(4n+1)*		*sin[ (4n+1)*		] = (4n+1)*		*1 → +∞
	2		2		2

natomiast dla

	π
yn = (4n+3)*		mamy
	2

	π		π		π
(4n+3)*		*sin[ (4n+3)*		] = (4n+1)*		*(−1) → −∞
	2		2		2

stąd wynika, że

	1		1
limx→0+		*sin		nie istnieje
	x		x

analogicznie biorąc

	π
yn = (4n+1)*(−		)
	2

i

	π
yn = (4n+3)*(−		)
	2

pokażemy, że

	1		1
limx→0−		*sin		nie istnieje
	x		x

zatem

	1		1
limx→0		*sin		nie istnieje
	x		x