Zbadaj ciągłość następującej funkcji p. Michał: Witam. Mam lekki problem z rozwiązaniem tego zadania, gdyż nie mam notatek w zeszycie, a zdecydowanie wolę się uczyć z przykładów, niż z definicji; Zbadaj ciągłość funkcji: (2xy³+x²y³)/(x⁴+2y⁴) dla x,y ≠ 0,0 f(x,y)= (0 dla x,y = 0,0 proszę o rozwiązanie krok po kroku, najlepiej z podaniem schematu. Jeżeli zadania tego typu można rozwiązać z granic iterowanych, także proszę o rozpisanie krok po kroku. DZIĘKI!

Krzysiek: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/%C4%86wiczenia_6:_Ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji_wielu_zmiennych._Pochodne_cz%C4%85stkowe._Gradient

p. Michał: dzięki Krzysiek. właśnie o to mi chodziło. temat do zamknięcia, spróbuje sam rozwiązać

p. Michał: Jeszcze jedno pytanie: czy do zrobienia tego typu zadań wystarczy: 1) obliczyć granice iterowane − jeżeli są różne, funkcja nie jest ciągła 2) jeżeli granice iterowane są takie same to obliczyć granicę funkcji w tym punkcie np. ze współrzędnych biegunowych. Jeżeli wszystkie wyniki są takie same to funkcja jest ciągła, zgadza się?

Krzysiek: 1) tak 2)"Funkcja wielu zmiennych jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy w tym punkcie istnieje granica funkcji i jest równa wartości funkcji w tym punkcie." więc ta granica musi wynosić w tym przypadku zero bo f(0,0)=0

p. Michał: I jeszcze jedno: granic iterowanych w teog typu zadaniach można używać tylko jeżeli podejrzany punkt nieciągłości jest liczbą, a nie zmienną np. y≠x³

p. Michał: Ad. 2. Czyli granice iterowane mają być sobie równe, a f(0,0)=0 (tak jak podejrzany o nieciągłość punkt) czy iterowane także mają być równe tyle co ten punkt?

Krzysiek: przecież funkcja może być nieciągła tylko w punkcie (0,0) jak mamy obliczyć granicę 2−zmiennych to prawie zawsze zaczynamy od iterowanych (bo z reguły od razy widać wynik) tak jak w tym przypadku: w obu przypadkach granice wynoszą 0, więc nic nie wiemy ad 2) tylko, że z tego że granice iterowane istnieją i są sobie równe)nie oznacza, że granica lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) istnieje

p. Michał: Jasne, czyli granice iterowane jedynie wyjaśniają sprawę odnośnie ciągłości gdy są różne i wykluczają ją. Gdy są takie same liczymy granicę dla f(0,0) i jeżeli jest równa wartości dla (0,0), czyli w tym przypadku 0, to funkcja jest ciągła, czy trzeba dopełnić jakoś obliczenia?

p. Michał: Pytam się dość wnikliwie, dlatego bo mam rozwiązanie tylko jednego przypadku tego typu zadań, w którym w ogóle nie korzystaliśmy z granic iterowanych. Chcę wiedzieć jak prawidłowo używać tych granic i wiedzieć o czym one mówią

Krzysiek: jeżeli granica w punkcie (0,0) wyjdzie 0 czyli tyle ile wynosi wartość funkcji w punkcie (0,0) to funkcja jest ciągła (bo poza tym punktem funkcja też jest ciągła −ten komentarz też trzeba napisać) i to koniec.

p. Michał: hmm, to po co liczymy granice iterowane? z nadzieją, że wyjdą różne i nie trzeba będzie kombinować przy granicy w punkcie ? : )

Krzysiek: tak, bo jest to z reguły o wiele łatwiejsze do policzenia (znamy metody do policzenia granic 1−zmiennej tj reguła de l'hospitala, która nie działa dla granic wielu zmiennych )

p. Michał: Ok, dzięki Krzysiek, bardzo mi pomogłeś.Granice iterowane są łatwe, w takim razie zabieram się za ogarnianie granic f. wielu zmiennych , gdyby jakaś funkcja trafiła się ciągła : ) jeszcze raz dzięki

p. Michał: hah, pytań nie ma końca mam jeszcze zadanko z egzaminu z sesji: Znaleźć wszystkie punkty (x; y) ⊂ R², w których funkcja (sin(xy²)/x dla x<0 f(x,y)= x²−5y−6 dla x≥0 jest ciągła. Jak w tym przykładzie powinniśmy postępować?

p. Michał: (sin(xy²))/x dla x<0 f(x,y)= x²−5y−6 dla x≥0

Krzysiek: nie jestem pewny ale ja bym zrobił tak: dla x=0 f(0,y)=−5y−6 lim_x→0⁻ f(x,y) =y² więc aby funkcja była ciągła: y² =−5y−6

p. Michał: Dlaczego liczysz lim x→0⁻ dla funkcji x²−5y−6 skoro 0⁻ nie należy do tego przedziału?

Krzysiek: nie liczyłem dla tej funkcji, gdy x→0⁻ to f(x,y)=sin(xy² )/x

p. Michał: Dzieki za pomoc : )

p. Michał: Ad. zad 1. Znalazłem w internecie wzmianke na temat granic iterowanych http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/a_algebra_analiza/analmat1/node116.html i wynika z niej ze w sumie nie ma sensu liczyc w tego typu zadaniach granic iterowanych, gdyz nie sa one nic w stanie powiedziec o ciaglosci w punkcie, dobrze rozumiem?

p. Michał: Ah, wynika z tego, że f. nie jest ciągła tylko pod warunkiem gdy granice iterowane są różne.

p. Michał: Możecie mi napisać jeszcze jak policzyć granicę dla tego zadania z egzaminu dla x→0⁻ funkcji (sin(xy²)/x?