zadanie, dowód. Timmy: Wykaż, że jeżeli a²+b² = 1, c²+d² = 1 oraz ac+bd = 0, to ab+cd = 0 Zrobiłem tak, proszę o sprawdzenie: Niec ab+cd = k ⇔ (ab+cd)² = k² Wiem, że ac+bd = 0 ⇔ (ac+bd)² = 0 ⇔ a²c² + b²d² + 2abcd = 0 (ab+cd)² = a²b² + c²d² + 2abcd = a²b² + c²d² − a²c² − b²d² = k² ⇔ a²(b²−c²) − d²(b² − c²) = k² ⇔ (a²−d²)(b²−c²) = k² jako, że a²+b²−c²−d² = 0 ⇔ a² − d² = c² − b² Podstawiam (a²−d²)(b²−c²) = k² ⇔(c²−b²)(b²−c²) = k² ⇔(c²−b²)² = −k² ⇔ k = 0 Dobrze?

pigor: wykaż, że jeżeli a²+b²=1, c²+d²=1 oraz ac+bd=0, to ab+cd=0 , −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... niech inni wypowiedzą się co tam wyżej napisałeś, a ja widzę to np. tak : a²+b²=1 i c²+d²=1 i ac+bd=0 i /− (odejmując) stronami ⇒ ⇒ a²−c² + b²−d²= 0 i a²−ac + b²−bd= 1 ⇔ ⇔ (a−c)(a+c) + (b−d)(b+d)= 0 i a(a−c) + b(b−d)= 1 i /− stronami ⇒ ⇒ (a−c)(a+c)−a(a−c) + (b−d)(b+d)−b(b−d)= −1 ⇔ (a−c)(a+c−a) + (b−d)(b+d−b)= −1 ⇔ ⇔ (a−c)c +(b−d)d= −1 ⇔ ac−c² + bd=d²= −1 ⇔ ac+bd−(c²+d²)= −1 , to stąd i założenia ⇔ ac+bd−1= −1 ⇔ ac+bd=0 c.n.w. . ...

Timmy: hmm, zobacz co wykazałeś, a co trzeba było wykazać.

pigor: ... o kurcze , powiem szczerze, że ... nie zauważyłem nawet tego , tak "fajnie " wszystko mi się składało , a przecież doszedłem do ... jednego z założeń , a więc coś nie tak z "moją " równoważnością" , cóż spróbuję pomyśleć dalej

Timmy: Ok, ewentualnie sprawdź to co ja napisałem. Ale dzięki.

Eta: Można tak: (ac+bd)*(ad+bc)= a²cd+abc²+abd²+cdb² =cd(a²+b²)+ ab(c²+d²) ponieważ ac+bd=0 i a²+b²=1 i c²+d²=1 to: 0= cd*1+ab*1 ⇒ ab+cd=0 c.n.u

Timmy: No, zdecydowanie krócej. A w tym moim nie ma błędu?

Godzio: Moim zdaniem Twoje rozwiązanie też jest ok.

Eta: ok

Timmy: Dziękuję Wam.

Eta: No to dla Timmy takie zadanko 1/ wykaż,że dla liczb rzeczywistych nieujemnych x, y, z zachodzi nierówność:

	x+y+z		x		y		z
		≤		+		+
	1+x2+y2+z2		1+x2		1+y2		1+z2

powodzenia

Timmy: Dzięki, zrobiłem tak, ale nie wiem czy dobrze, bo niezbyt dobry w takich zadaniach jestem. Z nierówności między średnią arytmetyczną ważoną a harmoniczną mam:

1   1   1   x* + y* +z*   1+x2   1+y2   1+z2		x+y+z
	≥
x+y+z		(1+x2)x + (1+y2)y + (1+z2)z

⇔

x		y		z		(x+y+z)2
	+		+		≥		=
1+x2		1+y2		1+z2		x+y+z+x3+y3+z3

	x+y+z		x+y+z
		=		≥
	x+y+z+x3+y3+z3   x+y+z		x3+y3+z3   1+   x+y+z

	x+y+z
	1+x2+y2+z2

	x3+y3+z3
Bo		≤ x2+y2+z2 ⇔ x3+y3+z3 ≤ x3+y3+z3 + coś tam dodatniego
	x+y+z

	1		1
Czyli		≥
	x3+y3+z3   x+y+z		x2+y2+z2

Vax: Jest ok

Eta: 2 sposób: uwzględniając założenie

	x		x
		≤
	1+x2+y2+z2		1+x2

i

	y		y
		≤
	1+x2+y2+z2		1+y2

	z		z
i		≤
	1+x2+y2+z2		1+z2

dodając stronami

x+y+z		x		y		z
	≤		+		+
1+x2+y2+z2		1+x2		1+y2		1+z2

c.n.u

Timmy: No ta, nie spodziewam się, że takie proste ; p

Vax: To może coś takiego Dany jest niestały wielomian W o współczynnikach całkowitych. Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że istnieje taka liczba całkowita n, że p | W(n)

Timmy: Wątpię, żeby to było zadanie na mój poziom ; /

Vax: Z ciekawości, startujesz może w olimpiadzie matematycznej ?

Timmy: Niestety nie, za późno się zainteresowałem matematyką.

Eta:

Eta: Tylko dla Timmy z serii "wykaż " zad1/ Wykaż,że jeżeli liczby a i b spełniają równość a+b=1 to zachodzi nierówność:

	1
a4+b4 ≥
	8

zad 2/ Wykaż,że dla a>0 zachodzi:

	1		2
a4+		+		≥ 4
	a2		a

zad 3/ Wykaż,że jeżeli a≠c i b≠c i a+b=2c to:

	a		b
		+		=2
	a−c		b−c

Timmy:

	1		1		1
2. AM−GM a4 +		+		+		≥ 44√1 = 4
	a2		a		a

	a		b		ab−ac+ab−bc		2ab − c(a+b)
3.		+		=		=		=
	a−c		b−c		(a−c)(b−c)		ab−c(a+b)+c2

	2(ab−c2)
		= 2
	ab − c2

1.a⁴+b⁴ = (a²+b²)² − 2a²b² = [(a+b)² − 2ab]² − 2a²b² = 1 − 4ab + 4a²b² − 2a²b² = 1 − 4ab + 2a²b²

	1		1		1
Niech c = ab = −a2 + a = −(a−		)2 +		, czyli maximum równe
	2		4		4

Dalej 1 − 4ab + 2a²b² = 2c² − 4c + 1 = f(c) (x_p = 1)

	1		1		1
f(c) najmniejsza wartość przyjmuje dla f(		) =		− 1+1 =		(bo od (−∞; 1)
	4		8		8

	1
maleje, ale więcej niż		nie przyjmie)
	4

	1
Czyli a4+b4 ≥
	8

Co do wcześniejszego postu, ten uśmieszek trochę drwiąco wygląda. Ja uważam, że lepiej później niż wcale, a robiąc zadania olimpijskie, nawet bez startowania w olimpiadzie, można osiągnąć dobry poziom. No i dzięki za zadania, tylko ja raczej nic ciekawego nie mam; p

Eta: zad1/ można tak : śr. kw. ≥ śr. arytm

	a4+b4		a+b		1
4√		≥		=		/ 4
	2		2		2

	a4+b4		1
		≥		/*2
	2		16

	1
a4+b4≥
	8

c.n.u P.S. nie wysyłam emotki, bo znowu napiszesz ,że to "wygląda drwiąco"

Eta: Wszystkie dowody ok.

Timmy: Wybacz, po prostu nie wiedziałem, do czego się odnosiła. Mniejsza z tym, dziękuję bardzo : − P

Timmy: Chociaż mam jeszcze pewne pytanie. Jesteś pewna, żeby nierówność między średnią kwadratową a arytmetyczną tak wygląda?

Eta:

	an+bn		a+b
tak n√		≥
	2		2

Godzio: Eta zostawia dowód tej nierówności dla Ciebie

Eta:

Maslanek: No dobra Vax, to może tak Vax: To może coś takiego Dany jest niestały wielomian W o współczynnikach całkowitych. Pokaż, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p takich, że istnieje taka liczba całkowita n, że p | W(n)

	a0
Na pewno p∊{		}.
	an

W(n)=(n−p)*G(n). Wartość W(p)=0. Więc, jeśli n=p, to taki wielomian jest podzielny przez p.

Timmy: A dla n = 3 i a = b = −3 jest

	(−3)3+(−3)3		−3+(−3)
3√		= 3√−54 = −33√2 ≤ −3 =
	2		2

Timmy: Ok, tego nie było, zignorujcie tego posta xD

Godzio:

−27 − 27
	= 3√−27 = −3 ≤ −3
2

Godzio:

Maslanek: Bez sensu.. W(n)=(n−p)*G(n)+R(n) W(p)=R(p). Działa tylko, kiedy (n−p)|W(n)...

Maslanek: A jeśli w R(p) istniałoby a₀≠kp, to wszystko by strzeliło

kulikuhu: Gdzie można znaleźć spis nierówności między średnimi?

Timmy: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%27ego_o_%C5%9Brednich

Godzio: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%27ego_o_%C5%9Brednich

kulikuhu: Dziękuje x2

Eta: http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_uog%C3%B3lniona

pigor: ... a ja wracam do pierwszego zadania : wykaż, że jeżeli a²+b²=1, c²+d²=1 oraz ac+bd=0, to ab+cd=0 , które ... nie dawało mi spokoju i znalazłem coś takiego : z założenia zadania wynika, że istnieją kąty α, β takie, że a=sinα, b=cosα, c=sinβ i d=cosβ oraz sin²α+cos²α=1 i sin²β+cos²β=1 i sinαsinβ+cosαcosβ=0 ⇒ sin(α+β)=0 ⇒ ⇒ α+β=0 ⇒ β=−α, a wtedy ab+cd=sinαcosα+sinβcosβ=sinαcosα+sin(−α)cos(−α)=sinαcosα−sinαcosα=0 c.n.w.

Maslanek: Nice

Eta:

Vax:

	a0		a0
Maslanek jak to p ∊ {		} ? Czyli może być tylko p =		? To trochę nie
	an		an

ma sensu, nie zawsze jest całkowite i np jak mamy W(x) = 3x+7, to W(1) = 10, czyli 5 | W(1), a

	7
jakby nie patrzeć 5 ≠
	3