układ równań Timmy: a³ + b = k b³ + c = k c³ + a = k Gdzie k jest dane. Trzeba pokazać, że a = b = c. Proszę TYLKO o wskazówkę, Dodając stronami nic ciekawego nie widzę (ale jak to jest właściwy sposób, to się bardziej wysilę). Próbowałem też wyznaczyć b = k − a³, podstawić do drugiego równania, ale w ten sposób się zapętlam i nic ciekawego nie dostaję.

Vax: bso a = max{a,b,c} i zadanie samo się rozwiązuje

Timmy: a = max{a,b,c} to tak samo, jakbym po prostu założył, że np. a ≥ b ≥ c? Wiem, co oznacza funkcja max i min, ale nigdy nie stosowałem ich w równaniach/nierównościach.

Vax: Nie, a = max{a,b,c} nie oznacza, że a ≥ b ≥ c, tego nie możemy założyć, gdyż dana nierówność nie jest symetryczna, tylko cykliczna. a = max{a,b,c} oznacza, że a ≥ b ≥ c lub a ≥ c ≥ b, po prostu a jest największą liczbą spośród a,b,c

Timmy: Zrobiłem więc tak: Odejmując drugie równanie od trzeciego dostaję: b³ + c − c³ − a = 0 ⇔ b³ − c³ = a − c Skoro a = max{a,b,c}, to prawa strona jest nieujemna, więc lewa też musi, czyli b³ − c³ ≥ 0 ⇔ b ≥ c Odejmując pierwsze równanie od drugiego mam: a³ + b − b³ − c = 0 ⇔ a³ − b³ = c − b Lewa strona jest nieujemna, czyli prawa też musi być, więc c ≥ b Z tego wynika, że b = c i po chwili widać, że a = b = c. Dobrze?

Vax: Tak, można też zauważyć, że k−b = a³ ≥ b³ = k−c ⇔ c ≥ b, czyli k−a = c³ ≥ b³ = k−c ⇔ c ≥ a, ale a = max{a,b,c}, więc a=c a stąd szybko a=b=c

Timmy: Bardzo dziękuję za pomoc.