czy podane funkcje są różnowartościowe? bartekcmg: 1. f(x)=arcsin²x+4arcsinx 2. f(x)=3x +2 IxI

loitzl9006: 1. jeżeli pochodna funkcji f(x) okaże się dodatnia (lub ujemna) dla każdego x należącego do przedziału <−1;1>, to f(x) będzie różnowartościowa. Liczymy:

	2arcsin x + 4
f'(x)=
	√1−x2

mianownik pochodnej zawsze dodatni, sprawdzamy licznik:

	−π
dla x dążącego do −1 licznik będzie dodatni, bo 2arcsin(−1) + 4 = 2 *		+ 4 = −π + 4 > 0
	2

dla x=0 wiadomo (4) dla x dążącego do 1 licznik też dodatni (arcus dodatni) + 4 = liczba dodatnia zatem funkcja jest różnowartościowa. 2. tutaj zabawa z przedziałami będzie, bo jest wartość bezwzględna. Nie liczmy pochodnych − spróbujmy narysować wykres f(x). Dla x≥0 wzór będzie wyglądał tak: f(x)=5x Dla x<0 będzie f(x)=x Zatem ... ?

bartekcmg: aha, dzięki bardzo. a można to 1. bez pochodnych zrobić (nie miałem jeszcze pochodnych)

bartekcmg: kombinowałem , że gdyby za arcsinx podstawić "t", to wyszłaby funkcja kwadratowa: y=t²+4t i wykazać z tego że ta funkcja jest rosnąca... tylko nie bardzo wiem jak to zrobić ...

Amulenium: Nie pomalujesz

loitzl9006: dobre z tym podstawieniem, nie wpadłem na to bartekcmg, zauważ że t∊<−1;1>. pokaż że ta funkcja kwadratowa jest rosnąca w przedziale <−1;1>. Jak to pokażesz to masz rozwiązane zadanie.

Mila: Loitz, czy może t∊<−π/2;π/2> ? Funkcja f(t)=t²+4t

	−π
tw=−2<
	2

dla t=−2 funkcja f(t) ma minimum, zatem f(t) jest rosnąca w przedziale <−π/2;π/2>⇔jest różnowartościowa.

loitzl9006: Aha, no taaak. Pomyliłem dziedzinę ze zbiorem wartości. oczywiście Mila masz rację. dzięki za poprawkę

Mila: Miło mi. Ładne rozwiązania prezentujesz.

Mila: 2) f(x)=3x +2 IxI x≥0 f(x)= 3x+2x f(x)=5x funkcja rosnąca x<0 f(x)=3x−2x=x funkcja rosnąca f(x) rosnąca dla x∊R , f(x) jest różnowartościowa.

Basia: Milu funkcja x+3 dla x<0 f(x) = x dla x≥0 spełnia warunki, które podałaś, a ani rosnąca w całej dziedzinie, ani różnowartościowa nie jest z tego, że każdy "kawałek" sam w sobie jest rosnący nie wynika jak widać monotoniczność całej funkcji czegoś w Twoim rozumowaniu brakuje, bo oczywiście funkcja f(x) = 3x+2|x| jest rosnąca i różnowartościowa; ciągłość jest już warunkiem wystarczającym (na "rozum" i rysunek, bo nie wiem jak formalnie pokazać, że ta ciągłość sprawę załatwia)

Basia: a ponieważ nie wiem proponuję rozwiązanie klasyczne x dla x<0 f(x) = 5x dla x≥0 jeżeli x₁<0 i x₂≥ 0 ⇒ f(x₁) = x₁<0 i f(x₂) = 5x₂≥0 ⇒ f(x₁)≠f(x₂) jeżeli x₁≥0 i x₂< 0 ⇒ f(x₁) = 5x₁≥0 i f(x₂) = x₂<0 ⇒ f(x₁)≠f(x₂) jeżeli x₁,x₂<0 ⇒ f(x₁) = f(x₂) ⇔ x₁=x₂ jeżeli x₁,x₂≥0 ⇒ f(x₁) = f(x₂) ⇔ 5x₁=5x₂ ⇔x₁=x₂ co kończy dowód

Basia: f(x) = arcsin²x + 4arcsinx f(x₁) = f(x₂) ⇔ arcsin²x₁ + 4arcsinx₁ = arcsin²x₂ + 4arcsinx₂ ⇔ arcsin²x₁ − arcsin²x₂ = 4(arcsinx₂ − arcsinx₁) ⇔ (arcsinx₁+arcsinx₂)(arcsinx₁ − arcsinx₂) = 4(arcsinx₂ − arcsinx₁) ⇔ ( arcsinx₁ − arcsinx₂ = 0 ) ∨ ( arcsinx₁−arcsinx₂≠0 ∧ arcsinx₁+arcsinx₂ = −4 ) ⇔ ( arcsinx₁ = arcsinx₂) ∨ fałsz (bo arcsinx₁+arcsinx₂ ≥ −^π₂ − ^π₂ = − π > −4 ) ⇔ ( arcsinx₁ = arcsinx₂) ⇔ x₁ = x₂ c.n.u.

Basia: P.S. jeżeli funkcja jest ciągła i monotoniczna ⇒ jest różnowartościowa takie twierdzenie dość łatwo udowodnić (ale już mi się teraz nie chce)

Maslanek: A jak się wykazuje ciągłość?

bartekcmg: Mila, co to jest t_w i skąd się tam wzięła cała linijka z tym oznaczeniem?

Mila: t_w to współrzędna wierzchołka paraboli. W zadaniu(2) należy uzupełnić ostatnie zdanie.Patrz komentarz Basi. Nasza funkcja jest ciągła.