zadanie z dowodem demo: Proszę o sprawdzenie: "Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność a² + b² + c² ≥ ab+ac+bc " a, b, c ∊ R a² + b² + c² ≥ ab+ac+bc 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2ac − 2bc ≥ 0 (a²−2ab+b²)+(a²−2ac+c²)+(b²−2bc+c²) ≥ 0 (a−b)² + (a−c)² + (b−c)² ≥ 0 Sumy kwadratów liczb są zawsze nieujemne. c.k.d Teraz mam problem z takim zadaniem: "Wykaż, że jeśli x+y+z=0 to xy+yz+zx ≤ 0" x+y+z=0 ⇒ xy+yz+zx ≤ 0 Czy mogę to tak zapisać: xy+yz+zx ≤ x+y+z i potem podnieść do kwadratu?

Maslanek: Najpierw należałoby przemnożyć przez (−1), żebyś podnosił liczby dodatnie.

demo: @Maslanek nie rozumiem? chodzi Ci o pierwsze zadanie czy o drugie, a jeśli o drugie to dlaczego pomnożyć przez −1? przecież mam wszędzie liczby dodatnie...

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/55047.html

Maslanek: Gdzie masz te liczby dodatnie? Po lewej masz ujemną, a po prawej nieujemną. Popełniasz błąd wtedy na starcie

demo: @Maslanek to mów że chodzi o tą nierówność bo patrzę w to i patrzę i nie mogłem zajarzyć... −xy−yz−zx ≥0 x²y²+y²z²+z²x² ≥ 0 nie za bardzo rozumiem....

demo: albo nie. x+y+z=0 (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+xz) x²+y²+z²+2(xy+yz+xz)=0

	x2+y2+z2
xy+yz+xz=−		≤ 0
	2

demo: dobrze? czy np. na maturze mogliby się przyczepić do takiego rozwiązania?!

mycha: Na razie nie wykazałeś, że xy+yz+zx ≤ 0

Eta: Wiadomo,że x²+y²+z²≥0 to: (x+y+z)²−2(xy+xz+yz) ≥0 0 −2(xy+xz+zy)≥0 /:(−2) xy+xz+zy ≤0 c.n.u

demo: @Eta niestety, ale nie rozumiem. Dlaczego to: x²+y²+z²≥0 przemieniło się w to: (x+y+z)²−2(xy+xz+yz) ≥0 ? u mnie to: (x+y+z)² po skorzystaniu ze wzoru skróconego mnożenia (dokładnie kwadrat sumy) przemieniło się w to: x²+y²+z²+2(xy+xz+yz)

Saizou : (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz) od tego co trzeba odjąć żeby otrzymać x²+y²+x²

Eta: No to przecież : x²+y²+z²= (x+y+z)²−2(xy+xz+yz) jasne już?

demo: ok już rozumiem. boże.... dzięki oczywiście

Eta: