Nierówność w trójkącie. Timmy: Wykaż, że w trójkącie ostrokątnym lub prostokątnym, zachodzi nierówność: sinA + sinB + sinC > 2

Artur z miasta Neptuna: 1) niech to bedzie trojkąt prostokątny niech C = 90^o sinA + sinB + sin C > 2 sinA + sin(90−A) > 2 − sin90 sinA + cosA > 2 − 1 sinA + cos A > 1 //² sin²A + 2sinAcosA + cos² > 1 1 + 2sinAcosA > 1 2sinAcosA>0 co jest prawdą, bo A∊(0^o ; 90^o)

Artur z miasta Neptuna: 2) niech to będzie trójkąt ostrokątny sinA + sinB + sin C > 2 sinA + sin B + sin(180 − (A+B)) > 2 sinA + sinB + sin(A+B) >2 sinA + sinB + sinAcosB + cosAsinB >2 sinA(1+cosB) + sinB(1+cosA) > 2

Artur z miasta Neptuna: kombinuj dalej

pigor: Timmy , czy na pewno chodzi o twoją , czy może o taką nierówność sin²A+sin²B+sin²C >2 . ...

Artur z miasta Neptuna: pigor ... wtedy dla prostokątnego się nie zgadza bo L = 2

pigor: , no tak masz rację, to może miało być sin²A+sin²B+sin²C ≥2 . ...

Timmy: Artur, tym sposobem udało Ci się rozwiązać czy po prostu to Twój pomysł? Ja zacząłem tak (dla prostokątnego jest łatwo, wiadomo)

	A+B		A−B		A+B		A+B
sinA + sinB + sin(A+B) = 2sin		*cos		+ 2sin		*cos		=
	2		2		2		2

A+B

A−B

A+B

A+B

A

B

2sin

(cos

+ cos

) = 4sin

cos

cos

> 2

2

2

2

2

2

2

No i tutaj sie narazie zatrzymałem. Ogólnie wiem, że można to łatwo pokazać korzystając z nierówności Jensena, ale chcę inaczej.

PW: Nie pójdzie dalej, bo się dziabłeś we wzorze na sumę cosinusów. ^a_2R=sinα ^b_2R=sinβ ^c_2R=sinγ (twierdzenie sinusów). Dodać stronami i skorzystać z nierówności trójkąta: dwa boki muszą być w sumie większe niż trzeci (ten najdłuższy), a dla ostrokątnego lub prostokątnego jest on co najmniej równy 2R.; to kończy dowód (licznik co najmniej równy 4R, mianownik 2R). Raczej nie da się rozwiązać zadania o trójkącie bez mówienia o trójkącie.

PW: Odwołuję to co napisałem. nie chciało mi się napisać wszystkich nierówności i sam się fatalnie dziabnąłem. Jutro napiszę poprawne rozwiazanie.

Timmy: Gdzie się "dziabłem"? Nawet wolfram pokazuje, że dobrze przekształciłem: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+alpha+%2B+sin+beta+%2B+sin%28alpha%2Bbeta%29+%3D+4sin%28%28alpha%2Bbeta%29%2F2%29*+cos%28alpha%2F2%29*cos%28beta%2F2%29+

PW:

Timmy: up

PW: Niech miary kątów trójkąta spełniają nierówność A<B<C<^π₂, wówczas ^p₂<A+B<^2π₃ ^p₂−A<B<^2π₃ (1) ^π−A₂<B+^A₂<^π+A₂. Badaną sumę s przekształcimy korzystając ze znanych wzorów i nierówności (1): s = sinA + sinB + sinC = sinA + sin B + sin(p−(A+B)) = sinA + sin B + 2sin(A+B)= sinA + 2 sin(^B+A+B₂) sin(^B−A−B₂) = sinA + 2 sin(B+^A₂) cos(^−A₂) = sinA + 2 sin(B+^A₂) cos^A₂. Funkcja sinus jest na (0,π) symetryczna względem prostej x = ^π₂, więc z (1) wynika, że 1>sin(B+^A₂)>sin(^π₂−^A₂), a więc s > sinA + 2 sin(^π₂−^A₂) cos(^A₂ = sinA + 2 cos ^A₂ cos ^A₂ = 2 sin ^A₂ cos ^A₂ + 2 (1 − sin^{2 A}₂) = 2 − 2 sin^{2 A}₂ + 2 sin ^A₂ cos ^A₂ = 2+ 2 (cos ^A₂ − sin ^A₂) > 2, gdyż różnica w nawiasie jest dodatnia dla ostrych kątów A (rysunku nie umiem zrobić, ale opowiem: na jednym obrazku sinus i cosinus i widać, że przecinają się dopiero w ^π₄). Takie niewinne, a dwa dni myślałem. Dopiero jak się czyta, to jest łatwe.

AS: Dla trójkąta prostokątnego: sinA + sinB + sinC >=2 , C = 90^o sinA + sinB + sin90^o >= 2 sinA + sinB + 1 >= 2 sinA + sinB >= 1 Ponieważ w trójkącie prostokątnym mamy sinA = a/c , sinB = sin(90 − A) = cosA = b/c mamy a/c + b/c >= 1 a + b >= c co kończy dowód

Eta: ≥

PW: Denerwuje mnie ten edytor, a dopiero zacząłem, więc widzę błędy. W niektórych miejscach mojego dowodu nierówności powinny być nieostre, a w ostatnim wierszu oszacowań po 2 + 2 ... powinien być jeszcze wyłączony sin ^A₂ , który mi zżarło. Wyżej jeszcze jest p zamiast π, ale od nowa nie będę tego wypisywał.

Timmy: k, dzięki.