MP białefiołki: czy znajdzie się tu dobry człowiek, który w łatwy i przyjemny sposób wyjaśni mi, kiedy stosuje się metodę przewidywań? jak rozpoznać, że równanie różniczkowe można obliczyć w ten sposób? bo ja nie ogarniam...

Trivial: Patrzysz na równanie różniczkowe i próbujesz zgadnąć rozwiązanie. Warto spróbować, jako że w przykładach często występują bardzo oklepane rozwiązania: 1. wielomiany 2. sin(ax), cos(ax) 3. e^ax Tymi rozwiązaniami mogą być też kombinacje liniowe, albo iloczyn tych wyrażeń.

białefiołki: a w takim razie po czym poznać, że równania nie da się obliczyć metodą przewidywań?

Trivial: Po tym, że nie widać od razu rozwiązania.

Artur z miasta Neptuna: jeżeli nie wiesz jaki moze by wynik −−− wtedy ustalasz, że nie dasz rady metoda przewidywan i nie robisz 'zgaduj zgadula' tylko rozwiązujesz normalnie

Trivial: Mamy na przykład równanie: y'' + 3y' + 2y = 2sin(3t). Najpierw rozwiąż równanie jednorodne... y'' + 3y' + 2y = 0 λ² + 3λ + 2 = 0 (λ+1)(λ+2) = 0 λ = {−2, −1} Zatem... y_j = c₁e^−2t + c₂e^−t Teraz próbujemy zgadnąć, co wstawione do równania da 2*sin(3t)... Może jest to kombinacja sin(3t) i cos(3t)? Sprawdźmy... y_s = Asin(3t) + Bcos(3t) A,B − stałe. y_s' = 3Acos(3t) − 3Bsin(3t) = 3(Acos(3t) − Bsin(3t)) y_s'' = −9Asin(3t) − 9Bcos(3t) = −9(Asin(3t) + Bcos(3t)) Wstawiamy... −9(Asin(3t) + Bcos(3t)) + 9(Acos(3t) − Bsin(3t)) + 2(Asin(3t) + Bcos(3t)) = = (−9A − 9B + 2A)sin(3t) + (−9B + 9A + 2B)cos(3t) = (−7A − 9B)sin(3t) + (9A − 7B)cos(3t) = 2sin(3t). Więc mamy teraz do policzenia stałe. Muszą spełniać układ równań:

⎧	−7A − 9B = 2
⎨
⎩	9A − 7B = 0

	7		9
Od razu widać, że rozwiązaniami są A = −		oraz B = −		.
	65		65

	7		9
czyli nasze ys = −		sin(3t) −		cos(3t), zatem rozwiązanie ogólne to:
	65		65

	7		9
y = ys + yj = −		sin(3t) −		cos(3t) + c1e−2t + c2e−t.
	65		65

białefiołki: no dobrze. widzę światełko w tunelu. dziękuję