znajdź funkcje... Timmy: Znajdź wszystkie funkcje f: N → N rosnące i spełniające warunki: 1^o f(2) = 2 2^o f(m*n) = f(m)*f(n) dla wszystkich m,n ∊ N Proszę o podpowiedź, a nie rozwiązanie. Wiem, że dla m = n = 2, mam f(4) = 4; dla m = 1, mam f(1) = 1; dla m = n = 0, mam f(0) = [f(0)]², czyli f(0) = 0 lub f(0) = 1, ale ta druga opcja odpada, bo funkcja nie byłaby rosnąca. Przypuszczam, że będzie to funkcja f(n) = n, ale nie wiem jak to udowodnić no i nie wiem, czy to jest jedyna. Dzięki,

Trivial: N to naturalne z zerem czy bez?

Timmy: Nie ma napisane, więc przypuszczam, że bez. Więc ten przypadek, gdzie m=n=0, nie ma sensu.

Vax: Hint: Indukcja

Basia: jak już pokazałeś, że f(0) = 0 i f(1) = 1 to dalej przez indukcję zupełną Z: dla każdego k ≤ 2n f(k)=k i f(2n) = 2n T: f(2(n+1)) = 2(n+1) f(2(n+1)) = f(2)*f(n+1) = 2(n+1) bo n+1 ≤ 2n dla n≥2 i koniec

Basia: zapomniałam jeszcze o nieparzystych, ale to potem bo teraz mam gościa

Timmy: A skąd mam wiedzieć, że f(n) = n to jedyne rozwiązanie?

Vax: Można w ten sposób, widzimy, że f(1) = 1 , f(2) = 2. Załóżmy, że dla pewnego k ≥ 2 mamy: f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 ... f(k) = k Pokażemy, że f(k+1) = k+1. Istotnie, jeżeli k+1 nie jest liczbą pierwszą, to możemy zapisać k = a*b dla pewnych całkowitych dodatnich a,b ≠ 1, jednak wówczas: f(k+1) = f(ab) = f(a)f(b) = a*b = k+1, czyli istotnie f(k+1) = k+1 Jeżeli k+1 jest liczbą pierwszą, to k+2 musi być liczbą złożoną (gdyż k ≥ 2, więc k+1 ≥ 3, czyli k+2 jest liczbą parzystą większą od 2), możemy więc zapisać k+2 = a*b dla pewnych a,b ≥ 2 i analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że f(k+2) = k+2, czyli: f(1) = 1 f(2) = 2 .. f(k) = k f(k+2) = k+2 Ale funkcja f jest rosnąca, jej dziedziną są liczby naturalne i przyjmuje tylko wartości naturalne, więc musi być f(k+1) = k+1, cnd.

Timmy: Dziękuje, ładny sposób, Vax ; P