Wyznacz trzy pierwsze składniki szeregu fouriera ewelekx: Wyznacz przynajmniej trzy pierwsze składniki (wyrazy) szeregu Fouriera dla funkcji

	⎧	x jeśli −π<x≤0
f(x)=	⎨
	⎩	2x jeśli 0<x<π

Trivial: W przedziale (−π, π) f spełnia warunki Dirichleta. Teraz...

	a0
f(x) =		+ ∑n=1∞ (ancos(nx) + bnsin(nx))
	2

Można przekształcić f do postaci, w której łatwiej jest liczyć całki:

	⎧	0 dla x∊(−π, 0)
f(x) = x +	⎨
	⎩	x dla x∊[0, π)

I liczyć sobie spokojnie a_n, b_n ze wzorów... (Całki, które się zerują zaznaczyłem na szaro).

	π2
a0 = ∫−ππf(x)dx = ∫−ππxdx + ∫0πxdx =		.
	2

a_n = ∫_−π^πf(x)cos(nx)dx = ∫_−π^πxcos(nx)dx + ∫₀^πxcos(nx)dx =

	sin(nx)		sin(nx)		cos(nx)
= [x*		]0π − ∫0π1*		dx = 0 + [		]0π =
	n		n		n2

	(−1)n − 1
=		.
	n2

b_n = ∫_−π^πf(x)sin(nx)dx = ∫_−π^πxsin(nx)dx + ∫₀^πxsin(nx)dx = = 2*∫₀^πxsin(nx)dx + ∫₀^πxsin(nx)dx = 3*∫₀^πxsin(nx)dx =

	cos(nx)		cos(nx)
= 3*([x*(−		)]0π + ∫0π		dx)
	n		n

	(−1)n		sin(nx)		(−1)n
= −3π		+ 3*[		]0π = −3π		.
	n		n2		n