hmm szklanka: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność a² + b² + c² ≥ ab + ac +bc Spróbowałem zacząć od rozkładania na czynniki a² + b² + c²= (a+b+c)² = (a+b+c)(a+b−c)≥ab+ac+bc , ←pytanie jest moje takie czy mogę z tego dojść jakoś do dowodu?

Tomek.Noah: (a+b+c)²≠a²+b²+c²≠(a+b+c)(a+b−c)

ICSP: przemnóż obydwie strony nierówności przez 2.

szklanka: sory Tomek ma rację

ICSP: wiem ze ma : (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

szklanka: Znalazłem takie jeszcze rozwiązanie ,ale czy ono jest słuszne?↓ a² +b² +c² = ( a+b+c)² − 2ab − 2ac − 2bc a² +b² +c² ≥ ab +ac + bc ( a+b +c)² − 2ab − 2ac − 2bc ≥ab +ac +bc ,przenosimy na drugą stronę (a +b +c)² ≥ 3ab +3ac +3bc / 3

(a +b +c)2
	≥ab +ac + bc ,co kończy dowód
3

ICSP: to żaden dowód według mnie.

Vax:

	(a+b+c)2
Musisz jeszcze uzasadnić, że		≥ ab+ac+bc
	3

szklanka: Vax, jak można by było to zakończyć z tym uzasadnieniem?

Vax:

	(a+b+c)2
Najłatwiej zauważyć, że		≥ ab+ac+bc ⇔ a2+b2+c2 ≥ ab+ac+bc ⇔ 2a2+2b2+2c2 ≥
	3

2ab+2ac+2bc ⇔ (a−b)²+(a−c)²+(b−c)² ≥ 0

szklanka:

(a+b+c)2
	≥ ab+ac+bc ←←←czyli nie można z tego wybrnąć w ogóle?
3

Vax: Na siłę można, zauważ, że można bso założyć, że a,b,c są nieujemne (po lewej stronie nierówności a,b,c są w parzystych potęgach, więc gdy któraś z niewiadomych jest ujemna

	(a+b+c)2		(a+b+c)2
zmniejszyć się może jedynie prawa strona), więc		≥ ab+ac+bc ⇔		≥
	3		9

	ab+ac+bc		a+b+c		ab+ac+bc
		⇔		≥ √		co jest prawdziwe na mocy nierówności
	3		3		3

Maclaurina. Jednak jakby nie patrzeć elementarniejszy jest wcześniejszy dowód.

szklanka: Vax, mam dwa pytanie jeszcze: 1)Czy mógłbyś dać jakieś rady odnośnie udowodniania na czym to polega, czy to oznacza że trzeba tak kombinować by doprowadzić do najprostszej postaci czy po prostu się trzeba tego nauczyć że tak jest i tyle? Bo mnie się wydaje że można by to było udowadniać na wiele sposobów ale jak to zrozumieć. 2) (a−b)²+(a−c)²+(b−c)² ≥ 0 ←to jest zaprawdę końcowy dowód, rozumuje to tak ,że ta suma jest dodatnia co jest równoważne z równaniem wyjściowym w takim razie to właśnie jest dowód tak?

Vax: 1) Tak, najczęściej można dowodzić zadań na wiele sposobów. Ogólna rada nie jest niczym odkrywczym, gdyż po prostu trzeba przerabiać wiele zadań na dowodzenie i wyrobić u siebie pewne myślenie, dzięki któremu widząc zadanie będziesz widział, jaką drogą może udać Ci się je zrobić, a jaką raczej nic ciekawego się nie dostanie. Ale tak, ogólnie najważniejsze jest umieć kombinować 2) Tak (suma nieujemna, co jest równoważne z nierównością wyjściową)

b.: niepytany odpowiem od siebie: 1) trzeba dużo ćwiczyć, a dobrze znać też trochę standardowych nierówności. Myślę, że jak zrobisz 1000−−10000 zadań na udowadnianie nierówności, to będziesz sobie umiał radzić przynajmniej w miarę typowych przypadkach. (To żadna złośliwość, przypuszczam że np. Vax rozwiązał setki zadań z nierównościami...) A czemu akurat nierówności Cię interesują? Nierówności są akurat stosunkowo trudne... 2) no mniej więcej tak

szklanka: przygotowywuje się do matury i sądziłem ,że jest jakiś sposób który zawsze przechodzi i jak zobaczę zadanie wykaż że itp. to będę wiedział na co spojrzeć i co trzeba zrobić, ale tak widocznie nie jest

b.: do matury powinno Ci wystarczyć kombinowanie tak, aby otrzymać sume kwadratów (lub jeden kwadrat) jest większy równy od zera często w zadaniach licealnych rozwiązanie może przyspieszyć użycie nierówności między średnimi lub nier. dla ciągów jednomonotonicznych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_o_ci%C4%85gach_jednomonotonicznych, ale nierówności na maturze raczej powinno się dać rozwiązać tak jak opisałem wyżej i raczej chyba powinieneś się ograniczyć do nauki tego typowego sposobu

b.: jeszcze raz link: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_o_ci%C4%85gach_jednomonotonicznych

szklanka: wiem że jest coś takiego jak dowód nie wprost czyli zakładanie przeciwne , może tak trzeba by było robić większość zadań, dało by się to zrobić w tej nierówności ?

Vax: Tak, załóżmy nie wprost, że istnieją takie a,b,c ∊ ℛ, że a²+b²+c² < ab+ac+bc ale wtedy 2a²+2b²+2c² < 2ab+2ac+2bc ⇔ (a−b)²+(a−c)²+(b−c)² < 0 sprzeczność, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc suma 3 kwadratów również.

szklanka: czyli dobry był by sposób udowadniać nie wprost?

szklanka: tzn. dla większości zadań

szklanka: Ostatnie zadanie ,chcę to wykazać niewprost ,czyli jak się za to zabrać?

	a+b
wykaż że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi to		≥ √ab
	2

loitzl9006:

	a+b
Założyć przeciwnie, czyli że		< √ab i próbować dowieść, że to nie ma sensu.
	2

Saizou : załóżmy że teza jest fałszywa zatem

a+b
	≤√ab
2

a+b≤2√ab (a+b)²≤4ab a²+2ab+b²≤4ab a²−2ab+b²≤0 (a−b)²≤0 sprzeczność cnu

Vax: Saizou, nierówność powinna być ostra.

Saizou : znaczy się tam wszędzie powinny być znaki <

Vax:

Saizou : tylko nie ma sensu przeprowadzać dowodu nie wprost dzięki za

Mila: a² + b² + c² ≥ ab + ac +bc /*2 Jak radzi ICSP 2a² + 2b²+ 2c² ≥ 2ab + 2ac +2bc ⇔ 2a² + 2b²+ 2c² − 2ab − 2ac −2bc ≥0⇔ teraz myśleć, jak radzi Vax a²−2ab+b² + a²−2ac+c² + c²−2bc+b²≥0 teraz sprawdź, czy dobrze rozpisałam poprzednią linijkę i dokończ, "zwijając" grupy wyrażeń.

szklanka: słuchacie czy mogę wszystko wykazywać za pomocą indukcji matematycznej ? Czy to zadanie dało by radę?

Mila: Nie. Szklanka Ty, nas słuchaj. Przestań strzelać z armaty do wróbli. Dokończ ten dowód, bo jest ważny na maturę.

szklanka: Mila widzę ,że nikt nie odpowiada i nie wiesz jak to zakończyć więc specjalnie dla Ciebie rozwiązanie a²−2ab+b² + a²−2ac+c² + c²−2bc+b²≥0 (a−b)²+(a−c)²+(c−b)²≥0 Każda z liczb jest dodatnia

szklanka: znalazłem rozwiazanie tego zadania ale nie wiem co miał rozwiązujący na myśli mówiąc że równość (=) w danej nierówności zachodzi →a=b=c , o co chodzi że równość w danej nierówności zachodzi odnoszę się oczywiście do przykładu zadania wyżej a raczej ostatecznej postaci

b.: jak mamy nierówność słabą (≥), np. x≥y, to znaczy, że mamy albo nierówność ostrą x>y, albo równość x=y. W tym ostatnim przypadku mówi się, że w nierówności x≥y zachodzi równość np. x² ≥ 0 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x=0

szklanka: aha , rozumiem