help Grześ1992: Rozwiąż równanie liniowe drugiego rzędu(wiele przykładów mi wychodzi, ale z tymi mam problem ) Proszę o waszą pomoc 1)y''+4y=2sin2x−3cos2x+1 2)y"−9y=6cos3x

Grześ1992: na prawdę nikt tego nie potrafi zrobić ?

Grześ1992: naprawdę* wow

Krzysiek: najpierw rozwiązujesz równanie jednorodne czyli rozwiązujesz równanie charakterystyczne następnie metodą przewidywania rozwiązujesz równanie niejednorodne

Grześ1992: ja to wiem mogę Ci zrobić jakiś przykład bardzo podobny ale akurat w tych dwóch nie mam pojęcia co robię źle... Może jutro napiszę jak to robię i wtedy mi powiecie co jest nie tak teraz niestety nie mam czasu..

Krzysiek: 1)http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B4y%3D2sin2x%E2%88%923cos2x%2B1+ wystarczy kliknąć 'show steps' i masz pełne rozwiązanie

Grześ1992: widząc to rozwiązanie jeszcze mniej widzę xD

Grześ1992: up

Tomek.Noah: 2) y"−9y=6cos3x y"−9y=0 r²−9=0 r₁=3, r₂=−3 y₁=c₁e^3x+c₂e^−3x a teraz tak: y₂=Acos3x+Bsinx3x y'₂=3Bcos3x−3Asin3x y"₂=−9Acos3x−9Bsin3x y"₂−y₂=−18Acos3x−18Bsin3x=6cos3x −18A=6 −18B=0

	1
A=−
	3

B=0

	1
y2=−		cos3x
	3

y=y₁+y₂

	1
y=c1e3x+c2e−3x−		cos3x
	3

Tomek.Noah: chochlik się wdarł 10 linijka y"₂−9y₂

Grześ1992: dzięki

Grześ1992:

	1
Już chyba sobie poradziłem z tym przykładem(tylko w odpowiedziach zamiast −		cos2x jest
	2

	3
−		cos2x...a reszta się zgadza myślę, że autor się pomylił)
	16

y"+4y+2sin2x−3cos2x+1 r²+4=0 Δ=−16<0 α=0 ; β=2 y=C₁cos2x+C₂sin2x 1)f(x)=W_s(x) y=Ax+B y'=A

	1
y"=0 ; 4Ax+4B=1 ; A=0 ; B=
	4

	1
y=
	4

2)f(x)=x(Acosmx+Bsinmx) ,bo Δ<0 ,α=0 i β=m y=x(Acos2x+Bsin2x) y'=Acos2x+Bsin2x+x(−2Asin2x+2Bcos2x) y"=−4Asin2x+$Bcos2x−4xAcos2x−4xBsin2x (po uproszczeniu) −4Asin2x+4Bcos2x−4xAcos2x−4xBsin2x+4x(Acos2x+Bsin2x)=2sin2x−3cos2x

	1
sin2x: −4A=2 →A=−
	2

	3
cos2x: 4B=−3→B=−
	4

	1		3
y=x(−		cos2x−		sin2x)
	2		4

	1		1		3
yc=C1cos2x+C2sin2x+		+x(−		cos2x−		sin2x)
	4		2		4

Grześ1992: teraz mam taki przykład: y"−3y'=−xe^−x r²−3r=0 r₁=0 ∨ r₂=3 ; Δ>0 y=C₁+C₂e^3x No więc moje pytanie, postać ogólna będzie wyglądać tak? : y=xe^−x(Ax+B)

Grześ1992: Nie "postać ogólna" a raczej "całka szczególna" jak się nie mylę...

Tomek.Noah: hmmm W_n(x)e^x→W_n+1(x)e^x już nie pamietam jak to było z tymi przewidywaniami ...

Grześ1992: no trudno pokombinuję wtedy sam jak uda mi się rozwiązać to wrzucę

Tomek.Noah: poszukam w swoim księgozbiorze to sobie przypomnę co i jak

Tomek.Noah: Ok a więc tak; mamy coś takiego W_n(x)e^kx jeśli liczba k nie jest pierwiastkiem równania to całka przwidywania wygląda tak samo czyli W_n(x)e^kx jeśli liczba k jest m krotnym pierwiastkiem rownania to całka przewidywan wyglada tak: x^me^kxW_n(x)

Tomek.Noah: nie źle, wcześniej dobrze pisałem czyli jak mamy W_n(x)e^kx to przewidywania będa takie : W_n(x)e^kx lub W_n+1(x)e^kx

Grześ1992: czyli będzie po prostu y=e^−x(Ax+B) myślałem wstawić jeszcze x−a, bo jest jeszcze warunek co do wielomianu jeżeli r₁⋁r₂ =0 to k=1 we wzorze y=Z_s(x)*x^k

Grześ1992: no, więc udało się zrobiłem, dzięki Tomku

Tomek.Noah: