pokazać szklanka: udowodnij ,jeżeli a+b=1 ,to

	1
a) a2+b2≥
	2

Proszę napisać co po kolei czynicie

Timmy: a²+b² ≥ ¹₂ ⇔2a²+2b² ≥ 1 ⇔2a²+2b² ≥ 0 ⇔ a²+2ab+b² ≥ 0⇔a²−2ab+b² ≥ 0 ⇔(a−b)² ≥0

Timmy: a²+b² ≥ ¹₂ ⇔2a²+2b² ≥ 1 ⇔2a²+2b² ≥ a²+2ab+b²⇔a²−2ab+b² ≥ 0 ⇔(a−b)² ≥0 Poprawiłem.

szklanka: Jak wy to robicie że takie coś wychodzi i skąd " 2a²+2b² ≥ a²+2ab+b² " Co trzeba zrobić aby udowodnić, wykazać bądź uzasadnić każde zadanie?

Timmy: Skoro a+b = 1, to podnosząc obie strony do kwadratu masz: (a+b)² = 1² ⇔ a² +2ab+ b² = 1. Więc 2a²+2b² ≥ 1 jest równoważne 2a²+2b² ≥ a²+2ab+b² (po prostu jedynkę zamieniasz na to, co wyżej napisałem). Przenosząc na jedną stronę możesz zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. No a to, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, to chyba oczywiste.

szklanka: bo mnie zastanawia o co chodzi w tym całym udowodnianiu i stwierdzam że w jednym z wielu zadań jakie jest np to wyżej, trzeba doprowadzić a+b=1 do jak możliwe wyrażenia drugiego

	1
a2+b2≥		,tylko do czego się odnosiłeś mówiąc "że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej
	2

jest nieujemny, to chyba oczywiste" do tego że w zadaniu działania są dodatnie i dlatego się zgadza wszystko

Timmy: Masz założenie, które możesz wykorzystać (czyli, że a+b = 1, gdzie a,b to dowolne liczby rzeczywiste) oraz masz tezę, że a² + b² ≥ ¹₂ i chcesz ją udowodnić. Podstawiając dowolne liczby,(oczywiście takie, które sumują się do jedynki) wychodzi, że teza jest prawdziwa. Ale udowodnić trzeba na ogóle, a nie na szczególe. Więc robiąc odpowiednie przekształcenia (np takie, jakie zaproponowałem ja) dochodzę do tego, że nierówność a² + b² ≥ ¹₂ jest równoważna nierówności (a−b)² ≥ 0. Ta druga jest prawdziwa zawsze, jakichkolwiek liczb rzeczywistych byś nie wziął/wzięła (a to dlatego, że cokolwiek podniesiesz do kwadratu [oczywiście mówimy o liczbach rzeczywistych]. zawsze wynik będzie liczbą nieujemną). Skoro (a−b)² ≥ 0 jest prawdziwe zawsze, to a² + b² ≥ ¹₂ również.

szklanka: możesz jeszcze inne sposoby zaproponować w tym przykładzie, bym sobie porównał

Timmy: skoro a+b = 1, to b = 1 − a a²+b² ≥ ¹₂ ⇔ a² + 1 − 2a + a² ≥ ¹₂ ⇔ 2a² − 2a + ¹₂ ≥ 0 ⇔ 4a² − 4a + 1 ≥ 0 ⇔(2a − 1)² ≥ 0

szklanka: ktoś mógłby przedstawić to inne sposoby?

szklanka: ok, ale jak robię a²+2a(1−a)+(1−a)²← to wychodzi a²+a²+1

Timmy: nie bardzo rozumiem o co ci chodzi.

szklanka: po prostu nie bardzo wiem skąd to się wzięło u Ciebie→"a² + 1 − 2a + a²"

szklanka:

	1
poza tym nie wiem gdzie się podziała jedynka i dlaczeo jak przenosisz		na drugą stronę
	2

to masz plus a nie minus?

Timmy: Skoro b = 1 − a, to a² + b² = a² + (1−a)² = a² + 1 − 2a + a² = 2a² − 2a + 1 Przenosząc ¹₂ na drugą stronę mam 2a² − 2a + 1 − ¹₂ = 2a² − 2a + ¹₂

szklanka: a+b=1 ←mówisz że podnosisz obie strony do kwadratu → a²+b²=1² ←dlaczego tak nie można postąpić?

asdf: podnosi się stronami, a nie liczbami