Funkcje wymierne Fąfel: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c funkcja: f(x) = (x−a)(x−b) + (x−b)(x−c) + (x−c)(x−a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Bardzo proszę o pomoc.

miśka: czyli zalozenie Δ>0 czyli cale rownanie wieksze od zera

miśka: Tim dobrze kombinuje?

bumblebee: Δ≥0

Michał Szczotka: wow brawo dla pomagających tyle to każdy wie

Michał Szczotka: podać rozwiązanie

13LateK: no jakbycs mółg... dlaczego skor delta większa lub równa zero to całe to równanie ma być wieksze lub równe zero?

pazio: nie nie... ci wszyscy nade mną chyba Ci sugerują, abyś wymnożył(a) wszystko i wtedy stawiasz warunek na deltę...

pazio: po wymnożeniu masz postać funkcji: f(x)= 3x² − (2a + 2b + 2c)x + ab + bc + ac

Bogdan: Michał pisze w poniedziałek maturę z j. polskiego, więc wyręczę go w rozwiązaniu tego zadania. f(x) = (x−a)(x−b) + (x−b)(x−c) + (x−c)(x−a). Po wymnożeniu i uporządkowaniu otrzymujemy: f(x) = 3x² + (−2a − 2b − 2c)x + (ab + ac + bc). Jeśli funkcja f(x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe, to Δ ≥ 0. Δ = (−2a − 2b − 2c)² −12(ab + ac + bc) = 4(a² + b² + c² − ab − ac − bc) Δ ≥ 0 ⇔ a² + b² + c² − ab − ac − bc ≥ 0, mnożymy obustronnie przez 2. 2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2ac − 2bc ≥ 0 (a² − 2ab + b²) + (a² − 2ac + c²) + (b² − 2bc + c²) ≥ 0 (a − b)² + (a − c)² + (b − c) ≥ 0 Otrzymaliśmy sumę kwadratów trzech wyrażeń, a ponieważ ta suma nie może być ujemna, to Δ ≥ 0, czyli funkcja f(x) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

pazio: Δ = (2a+2b+2c)² −12(ab+bc+ac) = 4a²+8ab+8ac+4b²+8bc+4c²−12ab−12ac−12bc = 4(a²+b²+c²−ab−ac−bc) i teraz: Δ≥0 4(a²+b²+c²−ab−ac−bc)≥0 /:2 2a²+2b²+2c²−2ab−2ac−2bc≥0 a²−2ab+b²+a²−2ac+c²+b²−2bc+c²≥0 (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²≥0 cnd.

pazio: spóźniona

Kpsr: kurde wszystko spoko, ale dlaczego u Bogdana trzeba pomnozyc obustronnie przez 2, a u pazio trzeba podzielic przez dwa nie rozumiem tego :x

Dominik: bo Bogdan majac wyrazenie 4(a² + b² + c² − ab − ac − bc) ≥ 0 podzielil je przez 4, nie zapisujac tego, a potem pomnozyl razy dwa. wychodzi na to samo jak wyjsciowa nierownosc podzielic przez 2.

Kpsr: cos nie tak kochani... http://storage.arkuszematuralne.pl/arkusz_Matematyka_poziom_r_rok_2001_427.pdf zjedzcie na sam dol i patrzcie na odpowiedz tam jest Δ=2[(a−b)²+(c−a)²+(b−c)²]

PW: Jest oczywiste, że jeśli b=a lub b=c, to b jest miejscem zerowym rozpatrywanej funkcji f. Niech więc a<b<c. Założenie takie nie zmniejsza ogólności, gdyż zamiana miejscami dowolnych dwóch z liczb a,b,c daje tę samą funkcję f. Oznaczmy f₁(x) = (x−a)(x−b), f₂(x)=(x−a)(x−c), f₃(x)=(x−b)(x−c). Każda z tych funkcji jest funkcją kwadratową mającą dwa miejsca zerowe i przyjmującą ujemne wartości dla x leżących między jej miejscami zerowymi. W szczególności f₂(b)<0, gdyż b leży między a i c, które są miejscami zerowymi funkcji f₂. Jednocześnie f₁(b)=0 i f₃(b)=0. Jest więc: f(b)=f₁(b)+f₂(b)+f₃(b) = 0+f₂(b)+0 = f₂(b)<0. Wiemy, że funkcja f jest funkcją kwadratową (jako suma trzech funkcji kwadratowych), a współczynnik przy x² w zapisie tej funkcji jest równy 3. Oznacza to, że f(x) = 3x²+px+q i f(b)<0, więc f ma dwa miejsca zerowe. Najlepiej to zilustrować trzema wykresami w jednym układzie współrzędnych.