Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej Miraclepl: Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej y=2√x, gdzie 1≤x≤4 wokół osi OX. Korzystam ze wzoru: S=2π∫^b_a|f(x)|√1+[f'(x)]²dx a więc liczę pochodną z 2√x = √x czyli wzór na pole ma postać: S=2π∫⁴₁(2√x√1+x)dx i tu mam problem, proszę o podpowiedź jak zgrabnie policzyć całkę ∫(2√x√1+x)dx Pozdrawiam i z góry dzięki

Amaz:

	1
Pochodna z 2√x to
	√x

Miraclepl: rzeczywiście palnąłem głupotę zaraz sprawdzę co dalej

Miraclepl: To w takim razie proszę o wytłumaczenie działania:

	x+1
√x*√		= √x+1
	x

Pewnie głupio pytam ale można tak skracać?

	a+b
√a*√		= √a+b ?
	a

Amaz: Ta.

Miraclepl: Dzięki

Miraclepl: Żeby nie zaśmiecać, poproszę o pomoc w rozwiązaniu całki niewłaściwej:

	dx
∫		od 3 do +∞.
	(x−2)2

Macie jakiś prosty sposób na całki niewłaściwe ? Pod ręką mam tylko jeden podręcznik w którym jest to opisane w zbyt niezrozumiały dla mnie sposób. Podkreślam, że jest to dopiero moja pierwsza całka niewłaściwa

Miraclepl: podbijam temat, jeśli można Będę bardzo wdzięczny za zrobienie krok po kroku tej całki. Pozdrawiam

Mila: Może jutro, gdy nikt nie pomoże.

Miraclepl: Z góry dziękuje, Mila

Bogdan:

	dx		−1
Najpierw całka nieoznaczona: ∫		=		+ C
	x − 2)2		x − 2

Teraz nasza całka niewłaściwa:

	dx		dx		−1
∫3∞		= lim(α→∞) ∫3α		= lim(α→∞) [		]3α =
	x − 2)2		x − 2)2		x − 2

	−1		−1		−1
= lim(α→∞) (		−		) = lim(α→∞) (		+ 1) = 1
	α − 2		3 − 2		α − 2

Mam nadzieję, że zapis jest czytelny i zrozumiały.

Mila: Bogdan, zapis piękny.Może Jakub wymyśli zapis dla granicy.

Miraclepl: Dziękuje a całka typu ∫(xe^x)dx od 0 do +∞=* ? Wolframalpha nie potrafi jej obliczyć. ∫xe^x= xe^x−e^x+c *=lim α→+∞[αe^α−e^α−4e³] = lim α→+∞ [e^α(α−1)−4e³], te wyrazy z α dążą do nieskończoności no i zostaje te 4e³. Proszę o podpowiedź

Mila: Całka jest rozbieżna.

Miraclepl: Przepraszam pomyliłem przykłady przepisując, chodzi oczywiscie o całkę ∫(xe^x)dx od 0 do +∞ Te poniższe obliczenia miały wyglądać: Lim α−>∞ [ e^α(α−1)+1 ]...

Miraclepl: rozbieżna bo granica jest nieskończona a gdyby granica była stałą to byłaby zbieżna. Czyli to już jest koniec zadania tak ?

Miraclepl: Mam jeszcze jedno pytanko:

	dx
∫		od −∞ do 0
	x2+2x+2

obliczyłem całkę nieoznaczoną = arctg(x+1)+c

	dx
a więc ∫		od −∞ do 0 = lim α→−∞ [arctg(α+1)−arctg(1)]
	x2+2x+2

W jaki sposób obliczyć tą granicę ? skąd mam wiedzieć jaka jest wartość arct w −∞+1 (bardziej do czego dąży?)?

Mila: Zobacz wykres funkcji y=arctgx to funkcja odwrotna do tgx arctgx→{−π}{2} dla x→−∞ arctgx→{π}{2} dla x→∞

	π
arctg 1=
	4

	dx		π		π		3π
∫−∞0		=lim [arctg(1)−arctg(α+1)]=		−(−		}=
	x2+2x+2		4		2		4

Bogdan:

	π
Jeśli α dąży do minus nieskończoności, to arctg(α + 1) i arctgα dążą do −		.
	2

Wykres y = arctg(α + 1) powstaje przez przesunięcie wykresu y = arctgα o 1 w lewo np. tu http://zadanieonline.pl/menu/fncgr/id/atg. Otrzymałem taki sam wynik jak Mila

Miraclepl: Dzięki za pomoc "wymiatacie" z tą matematyką. To takie wasze hobby czy zawodowo się matmą zajmujecie? Pozdrawiam

Miraclepl: Przeanalizowałem wasze rozwiązania i mi trochę coś nie pasuje:

	−π
arctg dla x→−∞ =
	2

a granica jest typu: lim α→−∞ [ arctg(α+1) − arctg(1) ] więc odpowiedzią powinno być:

	−π		π		3π
		−		= −
	2		4		4

Chodzi mi tylko o znak, mam rację ? Bo tam wyżej opisaliście działanie [ arctg(1) − arctg(α+1) ] czyli ze zmienionymi znakami

Bogdan: Dolna granica całkowania to α (α→ −∞) Górna granica całkowania to zero

Miraclepl: Mój błąd...

Miraclepl:

	dx		1		1		1
∫		od 0 do		funkcja jest nieciągła w x=		lub x=−
	√1−4x2		2		2		2

	dx		1
∫		=		arcsin(2x)
	√1−(2x)2		2

	1		1		1
Jak się do tego zabrać? Sprawdzić czy		arcsin(2x) jest nieciągła w		czy −		?
	2		2		2

i dopiero wtedy liczyć granicę przy α→do miejsca gdzie jest nieciągła?

	1		1
Czy poprostu na logikę, granice całkowania mamy od 0 to		więc −		leży poza tymi
	2		2

	1
granicami więc liczyć lim α→		?
	2

	1		1		1		π
Wtedy wyszłoby: lim α→		[		arcsin(1)−		arcsin(0)] i arcsin1 dąży do		a
	2		2		2		4

	π
arcsin 0 do 0 więc wynik końcowy byłby =
	4

Bogdan:

	1		1		1
Dziedziną funkcji f(x) =		jest przedział (−		,		)
	√1 − 4x2		2		2

	1
∫01/2 f(x) dx = lim(α→1/2) ∫0α f(x) dx = lim(α→1/2) [		arcsin(2x) ]0α =
	2

	1		1		π
= lim(α→1/2)		(arcsin2α − arcsin0) =		*(arcsin1 − arcsin0) =
	2		2		4