nierówności kwadratowe mala2: 4x²−4x+1 ≥ 0 Δ = 0

	1
xo=
	2

a > 0 ramiona paraboli w górę punkt przecięcia osi y (0, 1) zaznaczam pole nad osią x i x ∊ R

Saizou : 4x²−4x+1≥0 (2x−1)²≥0 x∊R

mala2: Dziękuję.

Saizou : i jak rozwiązujesz sposobem z liczeniem pierwiastka to nie musisz liczyć punktu przecięcia z osią y

ICSP: ale do rysowania wykresu jest przydatny.

Saizou : tylko że po co się męczyć i liczyć skoro to pomocniczy wykres

ICSP: liczyć Jak można liczyć punkt przecięcia z osi OY ?

Saizou : można liczyć

ICSP: a nie lepiej od razu odczytać ze wzoru ?

Mila: Dla ICSP i dla Rumpka: wykaż, że:

	kα   (k+1)α   sin *sin   2   2
sinα+sin2α+..........sin kα=		, k∊N
	α   sin   2

ICSP: Czy w indukcji można odejmować założenie od tezy ?

Mila: Masz udowodnić np. równość, korzystając z założenia. www.youtube.com/watch?v=P6WpknBLeTQ

ICSP: Udowodnij za pomocą indukcji że :

	kα   (k+1)α   sin * sin   2   2
sinα + sin2α + ... + sin(kα) =		, dla k∊ N
	α   sin   2

1^o Sprawdzam prawdziwość dla k = 1 L = sinα

	α   sin * sinα   2
P =		= sinα
	α   sin   2

L = P 2^o Zakładam prawdziwość dla pewnego k :

	kα   (k+1)α   sin * sin   2   2
sinα + sin2α + ... + sin(kα) =
	α   sin   2

3^o Twierdze że równanie jest spełnione również dla k +1 :

	(k+1)α   (k+2)α   sin * sin   2   2
sinα + sin2α + ... + sin(kα) + sin(k+1)α =
	α   sin   2

4^o Dowód: Wychodząc od lewej strony tezy mam : sinα + sin2α + ... + sin(kα) + sin(k+1)α = // na podstawie założenia // =

kα   (k+1)α   sin * sin   2   2
	+ sin(k+1)α =
α   sin   2

kα   (k+1)α   α   sin * sin + sin(k+1)α*sin   2   2   2
	=
α   sin   2

kα   (k+1)α   α   −2*sin * sin +[−2* sin(k+1)α*sin ]   2   2   2
	= //
α   −2*sin   2

	A+B		A+B
teraz skorzystam ze wzoru : cosA − cosB = −2sin		sin
	2		2

	(k+1)α		kα
cosA − cosB = −2*sin		* sin
	2		2

A + B		(k+1)α
	=
2		2

A − B		kα
	=
2		2

A + B = (k+1)α A − B = kα 2A = (2k + 1)α

	1		α
A = (k +		)α ⇒ B = −
	2		2

	1   α   α   cos(k + )α − cos +[−2* sin(k+1)α*sin ]   2   2   2
// =		= //
	α   −2*sin   2

drugi raz korzystam z tego samego wzoru :

	α
cosA − cosB = −2 * sin(k+1)α*sin
	2

z tego mam że :

A + B
	= (k+1)α
2

A−B		α
	=
2		2

A + B = (2k + 2)α A − B = α 2A = (2k +3)α

	3		1
A = (k +		)α ⇒ B = (k +		)α
	2		2

	1   α   3   1   cos(k + )α − cos + cos(k + )α − cos(k + )α   2   2   2   2
// =		=
	α   −2*sin   2

	3   α   cos(k + )α− cos   2   2
=		= // korzystając trzeci raz z wyżej podanego
	α   −2*sin   2

wzoru otrzymuje // =

k + (3/2) + (1/2)   k + (3/2) − (1/2)   −2 sin( )α * sin( )α   2   2
	=
α   −2 sin   2

	k+2   k + 1   sin( )α * sin( )α   2   2
=		= P
	α   sin   2

c.n.u.

Mila: Bardzo się napracowałeś.

	(k+1)α		(k+1)α
Jest prościej, jeśli zastosujesz sin(k+1)α=2sin		cos		w drugiej linijce
	2		2

	(k+1)α
(Twojego dowodu) i wyłączysz sin		w trzeciej linijce..
	2

Dowód dalej w 3 linijkach.

ICSP: