? Patryk: udowodnij ,ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba 4ⁿ+15n−1 jest podzielna pzrez 9 nie wiem jak to zrobić chociaż widziałem już kulka przykładów

loitzl9006: Ja mam taki pomysł (może ktoś będzie miał lepszy): 4ⁿ + 15n − 1 = a_n (pewien ciąg liczbowy) Sprawdzić dla kilku początkowych n czy zachodzi podzielność potem policzyć ile wynosi a_n+1 skoro ma być podzielne dla każdego n to liczba a_n+1−a_n też musi być podzielna przez 9 przedstawić liczbę a_n+1−a_n jako iloczyn dwóch liczb (jak jednym z czynników będzie 9 to koniec dowodu; ale chyba tylko trójkę da radę wyciągnąć przed nawias) Jeżeli wyciągniemy tylko trójkę przed nawias to wtedy trzeba dowieść że liczba która pozostała w nawiasie, jest podzielna przez 3. Dowodzimy to podobnie jak na początku (uznajemy liczbę w nawiasie jako ciąg i liczymy jego "różnicę", itd).

Bogdan: Dowód metodą indukcji: Krok 1. Sprawdzenie dla n = 1: 4 + 15 − 1 = 18 = 9*2 Krok 2. Założenie: liczba 4ⁿ + 15n − 1 jest podzielna dla n = 1, n = 2, ..., n = k czyli 4^k + 15k − 1 = 9a ⇒ 4^k = 9a − 15k + 1 Krok 3. Teza: liczba 4ⁿ + 15n − 1 jest podzielna przez 9 dla n = k + 1 czyli liczba 4^k+1 + 15(k+1) − 1 = 9b Krok 4: 4^k+1 + 15(k+1) − 1 = 4^k*4 + 15k + 15 − 1 = (9a − 15k + 1)*4 + 15k + 14 = =36a − 60k + 4 + 15k + 14 = 36a − 45k + 18 = 9*(4a − 5k + 2) c.n.u

Bogdan: Krok 4. Dowód. ....

Patryk: wielkie dzięki Bogdanie