? Patryk: Wykaż,że dla kazdej liczby naturalnej n dana liczba jest podzielna przez 3 7ⁿ−1 dla 1 7¹−1=6 7ⁿ−1=3t 7ⁿ=3t+1 7ⁿ⁺¹−1=7ⁿ*7−1 (3t+1)7−1 21t+6 3(7t+2) jest ok ?

rumpek: 1^o n = 1 7¹ − 1 = 7 − 1 = 6 * 1 = 3 * 2 * 1 = 3 * a 2^o n = k ∊ N 7^k − 1 = 3t 7^k = 3t + 1 3^o k + 1 7^{k + 1} − 1 = 7^k * 7 − 1 = (3t + 1) * 7 − 1 = 21t + 7 − 1 = 21t + 6 = 3(7t + 2) = 3 * m, m∊N c.n.u.

Bogdan: albo korzystając z wzoru skróconego mnożenia aⁿ − 1: 7ⁿ − 1 = (7 − 1)(7ⁿ⁻¹ + 7ⁿ⁻² + ... + 1) = 3*2*(7ⁿ⁻¹ + 7ⁿ⁻² + ... + 1)

Patryk: ale musisz przyznać ,ze moje obliczenia są prawie dobre

Bogdan: Prawie, bo przydałoby się określić poszczególne kroki: 1^o sprawdzenie dla n = 1 2^o założenie dla n = k 3^o teza dla n = k+1 4^o dowód

Patryk: ok

Patryk: n³+2n zadanie do tego samego polecenia .ale nie wiem jak .cos nie wychodzi

Bogdan: n³ + 2n = n(n² + 2) = n(n² − 1 + 3) = n(n² − 1) + 3n = ... dokończ

Patryk: nie umiem. rozumiem to przekształcenie ,ale

krystek: A może podpowiem . Masz n(n²−1)=n(n−1)(n+1)=(n−1)n(n+1) i co przedstawia ten iliczyn

Bogdan: ... = n(n − 1)(n + 1) + 3n Co wiemy o iloczynie trzech kolejnych liczb naturalnych: (n − 1) * n * (n + 1) ?

Patryk: jest zawsze podzielny przez 3 ,tak myślę bo wychodzi gdy obliczam na kalkulatorze np 1*2*3 lub 99*100*101

rumpek: n(n − 1)(n + 1) − 3 kolejne liczby całkowite, mówi ci to coś ?

Patryk: nie

DZIADZIA: CzescRumpek pamietasz mnie?

rumpek: Patryk − iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych n(n − 1)(n + 1) wśród nich na pewno jedna dzieli się przez 3 i co najmniej jedna przez 2 Ale tylko 1 informacja ci jest potrzebna. DZIADZIA − tak

Patryk: zapamiętam,dzięki

DZIADZIA: zdałem mature dzieki tej stronce po 5latach przerwy,dużo zawdzieczam takim ludziom jak Ty AGa1 Gustlik no i wspaniała Basiek z która mam kontakt do dziś Polemam każdemu tą stronke jest wspaniała a Jakub za jej stworzenie powinien dostać nagrodę Pozdrawiam wszystkich i życzę szcześcia na poprawkowej maturce!

krystek: @[P[DZIADZIA] Wytrwałośc popłaca. Gratuluję!

Patryk: mam inne zadanie z takie: wyznacz wszystkie wartosci parametru m dla których istnieje takie x ,że liczby 5^1+x+5^1−x, m/2 ,25^x+25^−x są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego . wiem ze m=5^1+x+5^1−x+25^x+25^−x nie jestem pewien jak to zrobić, może narysować prawą stronę i badać liczbę rozwiązań w zależności od prostej y=m ?

rumpek: 25^x = 5^2x i jedziesz dalej

Patryk:

	1		1
m=5x*5+5*		+52x+		co mi to daje ? t=5x ?
	5x		52x

Patryk: ?

Gustlik: Cieszę się, że w jakiś sposób Ci pomogłem, DZIADZIA. Niemniej zdałeś dzięki swojej pracy. Pozdrawiam

Mila:

	1		1
m=5(t+		)+(t2+		)
	t		t2

Mila:

	1		1
m=(t+		)2−2+5(t+		)
	t		t

	1
v=t+
	t

	1
v≥2 bo jeśli t>0 to t+		≥2 ( były dowody na forum)
	t

m=v²+5v−2 x_w=−2,5 zatem f(v) rosnąca dla v≥−2,5 f(2)=2²+5*2−2=4+10−2=12 i to jest wartość najmniejsza f(v) stąd m≥12

Mila: Oczywiście nie x_w lecz v_w.

Mila: Dzięki i jeszcze jedno.( zawsze myślę,że coś pominęłam, gdy nie mam odpowiedzi). U Patryka z ciągiem.

Patryk: dzięki

Mila: Odpowiedź zgadza się z podręcznikową?

Patryk: własnie tak

Mila: Cieszę się.Wieczorem ( i nie tylko) łatwo o pomyłkę.