6 miki20: udowodnij, że dla każdej liczby n naturalnej, liczba n⁵−n jest podzielna przez 30 n⁵−n =5s (n+1)⁵−(n+1) = n⁵ + 5n⁴ +10n³ + 10n² +5n +1 −n − 1 = n⁵ + 5n⁴ +10n³ + 10n² +4n = n⁵ − n + 5n⁴ +10n³ + 10n² +5n =5s + 5(n⁴ +2n³ + 2n² +n) = 5p Mam pytanie dlaczego p i s oznaczają dowolną liczbę całkowitą skoro w zadaniu pytają nas o naturalne?

Artur z miasta Neptuna: n⁵ − n = n(n⁴−1) = n*(n²−1)(n²+1) = n*(n−1)(n+1)(n²+1) n*(n−1)*(n+1) to jest iloczyn 3 kolejnych liczb ... a iloczyn trzech kolejnych liczb NA PEWNO jest podzielny przez 6 niech żadna z liczb: (n−1), n, (n+1) nie będzie podzielna przez 5. Wtedy n dzielone przez 5 daje resztę 2 lub 3. 1^o oznaczmy: n =5k+2 n² +1 = (5k+2)² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 = 25k² + 20k + 5 = 5(5k²+4k+1) 2^o oznaczmy: n=5k+3 n² +1 = (5k+3)² + 1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 25k² + 30k + 10 = 5(5k²+6k+2) tak więc: n*(n−1)*(n+1)*(n²+1) jest podzielne przez 6 oraz przez 5 ... a więc jest także podzielne przez 6*5 = 30 c.n.w.

miki20: 1^o ← co to oznacza?

Artur z miasta Neptuna: 1^o −−− pierwszy przypadek 2^o −−− drugi przypadek jeszcze powinien być 3^o: gdy (n−1), n lub (n+1) podzielny przez 5 ... ale go pominąłem bo wtedy logiczne że iloczyn podzielny będzie wtedy przez 5*6 = 30

miki20: Odpowiedz mi bądź odpowiedzcie mi na te dwa pytania plis: a)1^o ← co to oznacza? b) "Wtedy n dzielone przez 5 daje resztę 2 lub 3" →Przecież resztę 1 i 4 również daje − 14 :5 =2 r4 lub 11:4= 2 r1 , nie?

miki20: podpunkt a już wiem teraz tylko podpunkt b)

Artur z miasta Neptuna: jeżeli n dzielone przez 5 daje resztę 1 ... to (n−1) jest podzielne przez 5 jeżeli n dzielone przez 5 daje resztę 4 ... to (n+1) jest podzielne przez 5

Artur z miasta Neptuna: a ja napisałem, że żadna z tych trzech liczb (czyli n, n−1, n+1) nie ma być podzielna przez 5 ... stad n musi przy dzieleniu przez 5 dawać resztę 2 lub 3

miki20: ok, tylko jeszcze powiedz mi jak sprawdzasz czy 5 jest podzielne czy nie w tym przypadku (n−1) i (n+1) ,coś podstawiasz za n czy jak?

miki20: Powiedz mi jak do tego dochodzisz , może to banalne ale nie wiem ↙ "niech żadna z liczb: (n−1), n, (n+1) nie będzie podzielna przez 5. Wtedy n dzielone przez 5 daje resztę 2 lub 3."

miki20: jak sprawdzić że gdy 5 daje resztę 2 lub 3 to wtedy nie jest podzielne przez (n−1), n, (n+1)?

miki20: