podzielność Krzychu: wykaż, że 3²ⁿ−1 jest podzielne przez 8 dla n∊N posłużę się tutaj ∥ jako przystaje, bo tego symbolu nie mogę tutaj znaleźć. 3²∥1 (mod 8) − to jesne 3²∥1 (mod 8) /ⁿ 3²ⁿ∥1ⁿ (mod 8) i tutaj jako że 1ⁿ=1 zawsze dla warunku, to 3²ⁿ−1∥ (mod 8) I to jest dowód wystarczający? To moje pierwsze zadanie tym sposobem. I co to w ogóle znaczy modulo ?

Artur_z_miasta_Neptuna: x (mod 8) = y ⇔ x podzielone przez 8 daje resztę y

Artur_z_miasta_Neptuna: a może na odwrót x i y ... nie pamiętam już jak zapis był poprawny

Bogdan: Jeśli jest to zadanie z materiału szkoły średniej, to trzeba inaczej. Np. korzystając z wzoru skróconego mnożenia aⁿ − 1 = ... : 3²ⁿ − 1 = 9ⁿ − 1 = (9 − 1)(9ⁿ⁻¹ + 9ⁿ⁻² + ... + 1) = 8*(9ⁿ⁻¹ + 9ⁿ⁻¹ + ... + 1)

Krzychu: to na maturze to odrzucą?

Bogdan: Nie, na maturze można stosować dowolne metody

Krzychu: ok dzięki, faktycznie Twoim Bogdan sposobem to jest łatwiej, ale ja nie przepadam za tym wzorem. Macie może jakieś maturalne trudniejsze zadanka na dowodzenie podzielności? Chciałbym się sprawdzić właśnie w kongruencjach.

Krzychu: Artur, wersja pierwsza jest ok.

Mila: Znasz dwumian Newtona? Bardzo łatwo wychodzi.

rumpek: Bądź nieśmiertelną indukcją T: 8 | (3²ⁿ − 1) 1^o n = 1 3² − 1 = 9 − 1 = 8 = 8 * 1 2^o k = n ≥ 1 3^2k − 1 = 8t 3^2k = 8t + 1 3^o k + 1 3^{2(k + 1)} − 1 = 3^{2k + 2} − 1 = 3²k * 9 − 1 = (8t + 1) * 9 − 1 = 9 * 8t + 9 − 1 = 9 * 8t + 8 = 8(9t + 1) c.n.u.