liczby wymierne klik: Wykaż, że jeśli a, b∊W i a<b to istnieje c∊W ,że a<c<b

Artur z miasta Neptuna: skorzystaj z faktu, że zbiór liczb wymiernych jest równie liczny ze zbiorem liczb rzeczywistych

klik: W teorii to wiem że ułamki rozszerza się(bo to są liczby wymierne) i można upchnąć nieskończenie wiele liczb ale jak to zapisać

Jack: wymiernych jest nieskończenie przeliczalnie wiele, a R jest nieskończenie nieprzeliczalnie wiele, Artur. Możesz spróbować podać taką liczbę − np. średnią arytmetyczną z obu liczb.

Artur z miasta Neptuna: hmmm może tak: Wybieram a,b ∊W niech a<b; niech r = b−a ; r∊W

	r
niech c=a+		;
	2

c∊W ponieważ jest sumą dwóch liczb wymiernych czyli a<c<b. Jedyne co trzeba jeszcze dopisać, że każda liczba wymierna podzielona przez '2' jest liczbą wymierną.

Artur z miasta Neptuna: Jack −−− niewymiernych jest przeliczalnie wiele

Artur z miasta Neptuna: (przynajmniej tak zapamiętałem)

Jack: Nie, nie. Ułamki to ostatecznie NxN kartezjańsko, a to z kolei jest równoliczne z N. Więc wymiernych (liczb W) jest przeliczalnie wiele. Niewymierne z tego co kojarzę tworzyło się przez dopełnienie W do zbioru R, dlatego musi ich być nieprzeliczalnie wiele.

Jack: pamiętam konstrukcję liczb wymiernych, na bank jest ich Alef₀.

b.: a że rzeczywistych jest ,,więcej'' niż naturalnych (czyli, co na jedno wychodzi, wymiernych), można pokazać metodą przekątniową. Gdyby było ich przeliczalnie wiele, to numerujemy wszystkie liczby rzeczywiste, powiedzmy z przedziału (0,1), i wypisujemy ich rozwinięcia dziesiętne, przykładowo może wyglądać to tak: x₁ = 0,12083043.... x₂ = 0,10439804... x₃ = 0,9082347923.... x₄ = 0,390947232042... x₅ = 0,34126939482894678324.... x₆ = 0,4769472987892.... ... Tworzymy liczbę x = 0,... poprzez podanie jej rozwinięcia. Za pierwszą cyfrę po przecinku bierzemy jakąkolwiek cyfrę różną od pierwszej cyfry x₁, czyli od 1, na przykład 2. Za drugą cyfrę po przecinku bierzemy jakąkolwiek cyfrę różną od drugiej cyfry x₂, czyli od 0, na przykład 1. Na wszelki wypadek można nigdy nie wybierać dziewiątki ani zera. Itd. W przykładzie jw. można by wziąć x=0,217278... Zauważamy, że x jest z przedziału (0,1), ale nie występuje w naszym ciągu (x_n). Sprzeczność.

Jack: proste i przejrzyste

olcia: o,(ab) co zrobić gdy widze