:) Grześ1992: Siedze nad tym zadaniem już dobrych parę godzin moglibyście mi pomóc i rozwiązać chociaż jeden przykład ? Rozwiązać równania różniczkowe Bernouli'ego: 1)y'−y=xy²

	4y
2)y'=		+x√y
	x

3)y'+y=y²e^x

Artur z miasta Neptuna: 1) y' −y − xy² = 0

y'		1
	−		− x = 0
y2		y

	1		y'
z=		; z' =
	y		2y2

z'
	− z − x = 0
2

takie równianie już powinieneś dać rade rozwiązać

Patronus: 1) Dzielisz przez y z najwyższą potęgą:

1	dy		1
		−		− x = 0
y2	dx		y

	1
z =
	y

	dy
dz = −
	y2

i wstawiając

	dz
−		− z − x = 0
	dx

i masz równanie liniowe, dasz radę dalej?

Artur z miasta Neptuna: 3) analogicznie 2) zamiast przez najwyższa potęgę dzielisz przez √y (gdybyś dzielił przez najwyższa potęgę czyli przez 'y' to byś nic z tym nie zrobił)

Artur z miasta Neptuna: Patronus −−− zapomniałes o 2 w mianowniku (wyliczanie dz)

Grześ1992: lepiej jak by ktoś z was dokończył, bo miałem już w takiej postaci i wynik mi nie wyszedł coś muszę dalej robić źle

Grześ1992: wielkie dzięki za pomoc

Jack: nie zapomniał o 2, Ty ją niepotrzebnie dodałeś

Grześ1992: mógł byś wytłumaczyć przejście "dz=−dy/y² "?

Jack: to zwykła pochodna po x.

	1		1		−1
z=		⇒ z'=(		)'=		*y'
	y		y		y2

Jack: jako że y jest funkcją (ze zmienną x), do której nie mamy wglądu, dodajemy człon " y' "

Jack: (całość, z', jest to po prostu pochodna funkcji złożonej)

Grześ1992: dobra będe pisał po kolei i mnie sprawdźcie czy wszystko dobrze robię

Grześ1992:

	dz
−		−z=x
	dx

	dz
−		−z=0
	dx

dz
	=dx /∫
z

ln|z|=−x+C z=e^−x *C I teraz muszę wyznaczyć z'=...? i potem C(x)'=....?

Grześ1992: ?

Grześ1992: z=e^−x*c(x) z'=−e^−x*C(x)+e^−x*C'(x) −[−e^−x*C(x)+e^−x*C'(x)]−e^−x*C(x)=x

Artur z miasta Neptuna: albo prościej: −z' − z = x //*(e^x) −(z'e^x + z*(e^x)') = x*e^x −(e^xz)' = xe^x −ze^x = ∫xe^x dx

	xex − ex +C
−z =
	ex

	xex − ex +C
z = −
	ex

	ex
y = −
	ex(x−1) + C

Grześ1992: −e^−x*C'(x)=x C'(x)=−xe^x /∫ C(x)=−e^x(x−1)+C z=e^−x*[e^x(x−1)+C] z=x−1+C*e^−x y=(x−1+C*e^−x)⁻¹

Grześ1992: pomyliłem się "−" zgubiłem przy z=e^−x*[−e^x(x−1)+C) więc wynik y=(1−x+C*e^−x)⁻¹

Grześ1992: a czemu w odpowiedziach jest także y=0 ?

Jack: zobacz jakie działanie wykonujesz na samym początku.

Grześ1992: dziele przez y² to wtedy oznacza ze y=0 ?

Jack: skoro dzielisz przez y² to automatycznie zakładasz, że y≠0, tak? Zatem wynik który dalej wychodzi "dziedziczy" to założenie. Zatem na sam koniec mówisz wrócić do wyjściowego równania i zobaczyć co się dzieje, tzn. czy istnieje rozwiązanie, gdy y=0 (a więc i y'=0).

Grześ1992: nikt nie jest chetny zrobienia 3−ego przykladu ? 2 mi wyszedl

Grześ1992: ok rozumiem

Jack: "2" − to jakaś odpowiedź do któregoś z zadań? Co Ci w 3. wyszło?

Jack: 3) y'+y=y²e^x : / y²

y'		1
	+		=ex
y2		y

	−1
z=y−1 ⇒ z'=		y'
	y2

Stąd, −z'+z=e^x a. CORJ z'=z ⇔ z=Ce^x b.[PCSRJ (uzmiennienie stałej) z=c(x)e^x z'=c(x)'e^x+c(x)e^x Zatem: c(x)'e^x−c(x)e^x+c(x)e^x=e^x c(x)'e^x=−e^x c(x)'=−1 ∫c(x)'dx=∫−1dx ⇔ c(x)=−x+c Więc ostatecznie:

	1
a) z=		=Cex(−x+c) ⇒
	y

	1
y=		dla y≠0
	Cex(−x+c)

b) y=0 (bo 0=0 w wyjściowym równaniu)

Grześ1992: w 3 powinno wyjsc y=+/−√Cx²−x a mi wyszedl zupelnie inny musze na chwile wyjsc bede za ok 30 min.

Artur z miasta Neptuna: 3) y' + y = y²e^x

y'		1
	+		= ex
y2		y

	1		−y'
z=		; z' =
	y		y2

−z' + z = e^x //*(e^−x) −z'*(e^−x) + ze^−x = 1 −(z*e^−x)' = 1 −ze^−x = x+C −z = (x+C)e^x z = −(x+C)e^x

	1
z = −
	(x+C)ex

i taki ma wyjśc wynik ... pomyliły Ci sie z jakims innym zadaniem

Jack: +\− może wyjść w zadaniu w którym robisz podstawienie np. z=1/y² (dajesz parzystą potęgę). Gdyby w moim rozwiązaniu zrobić porządek ze stałymi, wyszedłby ten sam wynik który masz na wolframie (i u Artura, choć w ostatnim kroku powinno stać y=...)

Artur z miasta Neptuna: fakt fakt ... y winien byc

Grześ1992: już jestem wielkie dzięki chyba po prostu autor książki pomylił kolejność odpowiedzi tam gdzie 3) napisal odp. do 4) i odwrotnie

Grześ1992: czyli na koncu w 3 zadaniu dla y=0 napisać: y'=0 czyli 0=0 i to wystarczy ?

Jack: do 3) masz dwie odpowiedzi: y= (ułamek) lub y=0. Nie pisz tego, "0=0" bo to tylko sprawdzenie, czy L=P w wyjściowym równaniu.

Grześ1992: bo nie rozumiem kiedy to y=0 jest poprawne a kiedy nie ? mozesz mi to pokazac na przykladzie zad. 2) i 3), w 2) dziele przez √y czyli też y≠0 ?

Jack: w każdym z tych przypadków rozwiązaniem jest również y=0. Gdybyś miał równanie (pomijam "bernoulliowatość"): y'+y=1, to widać, że jak postawisz y=0 (oraz y'=0) otrzymasz 0=1, co nie jest prawdą. Wtedy wnioskujesz, że y=0 nie jest rozwiązaniem. Oczywiście, takiego sprawdzenia dokonujesz tylko wtedy, gdy dzieliłeś/mnożyłeś obie strony i wyskoczyło Ci założenie. Dzieląc przez √y oczywiście zakładasz, że √y≠0 czyli y≠0. Dlatego kolejne rachunki działają sprawnie, o ile zachowujesz to założenie. Stąd, aby się upewnić czy nie pomijasz przypadkiem rozwiązania musisz zawsze wrócić na początek i sprawdzić w równaniu sprzed dzielenia/mnożenia, czy wyrzucona wartość nie jest rozwiązaniem.