7 miłosz: Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce znaku *, aby liczba 15*8 była podzielna przez 11?

bartek: 1

miłosz: No ale jak do tego dojść

loitzl9006: http://matinfa.pl/index.php?page=cecha11

bartek: cecha podzielności przez 11: suma cyfr na miejscach parzystych i suma cyfr na miejscach nieparzystych są równe lub różnią się o wielokrotność 11 5 + 8 = 13, 1 + 1 = 2, 13 − 2 = 11

Eta: 1 5x, 8 z cechy podzielności przez 11 (8+5) − (1+x)= 11 ⇒ x=....

miłosz: No ale to mi nic nie mówi jeśli chodzi o moją treść zadania

miłosz: Eta, dzięki Tobie zrozumiałem

AS: (5 + 8) − (1 + x) = 11*k , k ∊ C 13 − 1 − x = 11*k x = 12 − 11*k Rozwiązanie możliwe jedynie dla k = 1 czyli x = 12 − 11*1 = 1 Szukana liczba: 1518

Eta:

AS: Zainteresowanym podaję dowód cechy podzielności przez 11 1001 = 11*91 , 100001 = 11*9091 , 10000001 = 11*909091 Niech będzie dana liczba A = ... ihgfedcba lub napisana w odwrotnej kolejności A = a + 10*b + 100*c + 1000*d + 10000*e + 100000*f + 1000000*g + 10000000*h +... A = a + (11*b − b) + (99*c + c) + (1001*d − d) + (9999*e + e) + (100001*f − f) + (999999*g + g) + (10000001*h − h) + ... A = (11*b + 99*c + 1001*d + 9999*e + 100001*f + ...) + (a − b + c − d + e − f + ...) A = 11*(b + 9*c + 91*d + 909*e + ...) + [(a + c + e + ... ) − (b + d + f + ...)] A = 11*(...) + (N − P) Ponieważ pierwszy człon jest podzielny przez 11 wystarczy by N − P było podzielne przez 11 gdzie N oznacza sumę cyfr położonych na nieparzystej pozycji liczby A P oznacza sumę cyfr położonych na parzystej pozycji liczby A Przykład Sprawdzić,czy liczba 35 702 648 114 jest podzielna przez 11 N = 4 + 1 + 4 + 2 + 7 + 3 = 21 P = 1 + 8 + 6 + 0 + 5 = 20 N − P = 21 −20 = 1 , nie jest podzielna przez 11 bo nie dzieli się przez 11

AS: Oczywiście − ... bo 1 nie dzieli się przez 11