Nieskonczona suma szescianow Bananek: Witam. Nie mam pomyslu jak sie za to zabrac: 1³+2³+3³+4³+...+n³=

Aga1.: Jest gotowy wzór

	n(n+1)
13+23+...+n3=(1+2+3+...+n)2=(		)2
	2

Bogdan: 1³ + 2³ = 9 1³ + 2³ + 3³ = 36 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225 Czy można zauważyć jakąś prawidłowość?

Bananek: ale jak to udowodnic ? jak przeprowadzic dowod od a do z?

ICSP:

	n(n+1)
13 + 23 + ... + n3 = (		)2
	2

Sprawdzam prawdziwość dla n = 1

	1*2
1 =		2
	2

1 = 1

	n(n+1)
Założenie : 13 + 23 + ... + n3 = (		)2
	2

	(n+2)(n+1)
Teza : 13 + 23 + ... + n3 + (n+1)3 = (		)2
	2

Dowód :

	n(n+1)
13 + 23 + ... + n3 + (n+1)3 = (na podstawie założenia) = (		)2 + (n+1)3 =
	2

	n2(n+1)2		(n+1)2(n2 + 4(n+1))		(n+1)2(n+2)2
		+ (n+1)3 =		=		=
	4		4		4

	(n+1)(n+2)
(		)2
	2

c.k.d.

Bananek: dobra to inaczej.....jak wyprowadzic wzor od a do z?

AS: Korzystam z tożsamości (x + 1)⁴ − x⁴ = 4*x³ + 6*x² + 4*x + 1 dla x = 1,2,3...n otrzymujemy 2⁴ − 1⁴ = 4*1³ + 6*1² + 4*1 + 1 3⁴ − 2⁴ = 4*2³ + 6*2² + 4*2 + 1 4⁴ − 3⁴ = 4*3³ + 6*3² + 4*3 + 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− (n + 1)⁴ − 1⁴ = 4*n³ + 6*n² + 4*n + 1 Stronami dodajemy (n + 1)⁴ − n⁴ = 4*(1³ + 2³ + ... + n³) + 6*(1² + 2² + ... + n²) + 4*(1 + 2 + ... + n) + n

	1		n
n4 + 4*n3 + 6*n2 + 4*n + 1 − 1 = 4*S + 6*		*n*(n + 1)*(2*n + 1) + 4*		*(n + 1) + n
	6		2

4*S = n⁴ + 4*n³ + 6*n² + 4*n − n*(2*n² + 3*n + 1) − 2*n*(n + 1) − n 4*S = n⁴ + 2*n³ + n² 4*S = n²*(n² + 2*n + 1)

	1
S =		n2*(n + 1)2 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2
	4

Uwaga Wykorzystałem wzór na sumę kwadratów

	1
12 + 22 + ... + n2 =		*n*(n + 1)*(2*n + 1)
	6

Bananek: dziekuje bardzo