nierówność między średnimi Krzychu: Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb a,b,c zachodzi nierówność: 8abc≤(a+b)(b+c)(b+a)

rumpek: Nierówność Cauchy'ego o średnich i jedziesz

loitzl9006: chyba literówka (nierówność nie jest prawdziwa; weź np. a=1 b=1 c=8 )

Krzychu: powinno być 8abc≤(a+b)(b+c)(c+a) No ale właśnie nie widzę jakby to tutaj zastosować. Prawa strona ma 7 czynników, tak więc w razie co tutaj kwadratowa nie pójdzie.

rumpek:

⎧	a + b ≥ 2√ab
⎨	a + c ≥ 2√ac
⎩	b + c ≥ 2√bc

Wymnożyć stronami c.n.u.

Krzychu: abc≤abc − to wynik końcowy ?

rumpek:

rumpek: (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc c.n.u.

Krzychu: no a to 8abc to co? mogło by być 1000000abc i bys napisać c.n.u ?

rumpek: Ty będziesz pisał maturę rozszerzoną w maju ? Napisałem wymnożyć stronami

⎧	a + b ≥ 2√ab
⎨	a + c ≥ 2√ac
⎩	b + c ≥ 2√bc

⎧	(a + b)(a + c) ≥ 4a√bc
⎩	b + c ≥ 2√bc

(a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc OTRZYMUJEMY TEZĘ Z ZADANIA ZATEM KONIEC c.n.u.

Krzychu: a gdybym podstawił to byłoby źle? to nie jest poziom maturalny, bo nierówności między średnimi oficjalnie nie ma

rumpek: Co ty gadasz, takie zadanie można znaleźć nawet na podstawie, a o średnich jest na ostatniej stronie tablic matematycznych

Basia: poza tym rumpek nigdzie nie korzysta z twierdzeń o średnich korzysta z prostego wzoru redukcyjnego (√a−√b)² ≥ 0 ⇒ a−2√a√b+b ≥ 0 ⇒ a−2√ab+b≥0 ⇒ a+b ≥ 2√ab i z tego, że można mnożyć nierówności stronami, jeżeli obie strony tych nierówności są dodatnie a to wynika z treści zadania

Basia: no tutaj akurat to się "pokrywa" z tw. o średnich

rumpek: Basiu:

a + b
	≥ √ab
2

śr. ar ≥ śr. geo Tak jak napisałaś Pokrywa się