Obliczyć całkę Miraclepl:

	3
Prosta całka: ∫
	2x2+4

Witam, Prosiłbym o naprowadzenie jak ją obliczyć. Próbuje przez podstawienie i części ale jakoś nawet

	dx
zacząć nie umiem. Wydaje mi się, że będzie to związane ze wzorem ∫		co dawałoby
	1+x2

arctgx. Czy może rozbić te wyrażenie na ułamki "jeszcze prostsze" ? Z góry dzięki

loitzl9006: Dobrze myślisz z tym arctg.

	3
Wyłącz najpierw 2 przed nawias w mianowniku, a potem		przed znak całki.
	2

Zostanie Ci

3		1
	∫		dx
2		x2 + 2

	x
Teraz podstawiasz t=		, wyliczasz po kolei x2, dx co doprowadzi do uzyskania
	√2

całki postaci

	1
∫		dt
	t2 + 1

co daje arcus tangens. Żeby obliczyć tego rodzaju całki bez żadnych podstawień, korzystasz ze wzoru:

	1		1		x
∫		dx =		arctg(		)+C
	x2 + a2		a		a

Bogdan: albo bez żadnych wzorów, odpowiednio dokonując przekształceń otrzymamy:

3		1		3		1		3
	=		*		=		*		.
2x2 + 4		4		x2   + 1 2		4		x   ( )2 + 1   √2

	x
Teraz widać podstawienie:		= t
	√2

Miraclepl: Bogdan, ta metoda mi się podoba dzięki

Basia: i trzymaj się jej

Miraclepl: W takim razie proszę o jakąś podpowiedź jeszcze co do przykładu:

	4x+1
Obliczyć całkę: ∫
	x2+4x+5

Domyślam się, że należy rozłożyć to na ułamki proste tyle, że mianownik jest chyba nierozkładalny bo Δ<0.

	Ax+B
Myślałem o ułamku prostym		ale potem wyszły mi głupoty typu A=B=0, chyba, że
	x2+4x+5

tak może być co dałoby mi ułamek:

0
x2+4x+5

to raczej tak nie może zostać

Bogdan: Pierwszy krok:

4x + 1		4x + 1
	=
x2 + 4x + 4 + 1		(x + 2)2 + 1

Miraclepl: Ten krok rozumiem, tylko następnego nie widzę Ta jedynka trochę przeszkadza =)

Bogdan: Drugi krok: Stosujemy podstawienie: x + 2 = t

Basia: w mianowniku tak, ale najpierw zrobiłabym jednak troszkę inaczej (x²+4x+5)' = 2x + 4 przekształcam licznik 4x+1 = 2(2x+¹₂+4−4) = 2[ (2x+4) − 3,5 ] = 2(2x+4) − 7

	2(2x+4)−7
J = ∫		dx =
	x2+4x+5

	2x+4		1
2∫		dx − 7∫		dx
	x2+4x+5		(x+2)2+1

pierwsza przez podstawienie: t = x²+4x+5 druga: tak jak poprzednio pokazał Bogdan

Bogdan: Dzień dobry Basiu Można pójść Twoją ścieżką albo: x + 2 = t ⇒ x = t − 2 ⇒ 4x + 1 = 4(t − 2) + 1 = 4t − 7 oraz dx = dt

	4t − 7		2t		1
∫		dt = 2*∫		− 7*∫		dt = ...
	t2 + 1		t2 + 1		t2 + 1

Miraclepl: Otrzymałem:

	2x+4		dx
2∫		dx−7∫		= { t=x2+4x+5 dt=(2x+4)dx i s=x+2 ds=dx } =
	x2+4x+5		x2+4x+5

	dt		ds
2∫		− 7∫		= 2ln|x2+4x+5|−7arctg(x+2)+C
	t		s+1

Miraclepl:

	dt		ds
w drugiej linijce miało być: 2∫		− 7∫		... literówka
	t		s2+1

Basia: fakt Bogdanie; w sumie na to samo wyszło, a chyba Twój sposób jest szybszy Miraclepl: dobrze

Miraclepl: a taki stwór:

	dx		dx
∫		, próbowałem to spotęgować i wychodzi ∫
	(sinx+cosx)2		1+2sinx*cosx

jednak niewiem jak to dalej ruszyć

Grześ1992: tu chyba tylko podstawieniem uniwersalnym, ale mogę się mylić

Basia:

1		1   cos2x
	=		=
(sinx+cosx)2		(sinx+cosx)2   cos2x

1   cos2x
(tgx+1)2

i podstawienie t = 1+tgx

Basia: jest w tym jedno drobne "przestępstwo" niestety nie ma gwarancji, że cos²x ≠ 0

Grześ1992: założenia:

	x		2t
t=tg		sinx=
	2		1+t2

	1−t2		2dt
cosx=		dx=
	1+t2		1+t2

Grześ1992: a to nie potrzebne wtedy

Miraclepl: skąd się ten tangens wziął w (tgx+1)² ?

Basia: ale w podstawieniu uniwersalnym jest to samo "przestępstwo" bo tg^x₂ istnieje ⇔ cos^x₂≠0

Basia:

(sinx+cosx)2		sinx+cosx		sinx		cosx
	= [		]2 = [		+		]2 =
cos2x		cosx		cosx		cosx

(tgx + 1)² reszta ewentualnie za kilka godzin

Miraclepl:

	1		dt		1
Reszta mi już wyszła: t=1+tgx, dt=		dx więc ∫		=∫t−2 dt= −		+C =
	cos2x		t2		t

	1
−		+C
	1+tgx

Bogdan: podobnie:

	dx
∫		= E
	1 + 2sinxcosx

	dt
tgx = t ⇒ x = arctgt ⇒ dx =		,
	1 + t2

	tgx		t
sinxcosx =		=
	1 + tg2x		1 + t2

	1		dt		dt		(t + 1)−1
E = ∫		*		= ∫		=		+ C =
	2t   1 +   t2 + 1		1 + t2		(t + 1)2		−1

	1		−1		−cosx
= −		+ C =		+ C =		+ C
	tgx + 1		sinx   + 1 cosx		sinx + cosx

i już

Mila:

	1
∫		dx=
	1+2sinxcosx

	1		1
∫		dx= [2x=t; dx=		dt]
	1+sin2x		2

	1		1
=		∫		dt
	2		1+sint

	t
podstawienie tg		=u
	2

pigor:

	dx		1
... lub ∫		= ∫		dx =
	(sinx+cosx)2		1+2sinxcosx

	2sinxcosx		2tgx		(tgx+1)2
= |1+2sinxcosx= 1+		= 1+		=		| =
	sin2x+cos2x		tg2x+1		tg2x+1

	tg2x+1		dt
= ∫		dx= | tgx=t ⇒ x=arctgt ⇒ dx=		| =
	(tgx+1)2		1+t2

	t+1
= ∫		dt = ... itd , gdzie
	(t+1)2(1+t2)

	t+1		A		B		Ct+D
		=		+		+		, ale na tym skończę . ...
	(t+1)2(1+t2)		t+1		(t+1)2		t2+1

Basia: a możecie mi powiedzieć po co to tak strasznie komplikować ? to jest zupełnie prosta całka

pigor: ... może po to, aby pokazać jak nie warto robić , czego przykładem jest mój sposób, który powstał ... "z marszu" i do niczego dobrego nie doprowadził . ...

Miraclepl: To następne wyzwanie (te całki w formie ułamków mnie już dobijają)

	dx
∫		go
	3+cosx

Każdy pomysł mile widziany, z góry dziękuje.

Bogdan: Klasycznie:

	x		2dt
tg		= t ⇒ dx =
	2		1 + t2

	x   1 − tg2   2		1 − t2
cosx =		=
	x   1 + tg2   2		1 + t2

	dx		1		2dt
∫		= ∫		*		= ...
	3 + cosx		1 − t2   3 +   1 + t2		1 + t2

Miraclepl: Pytanie być może śmieszne: Widzę tu, że zastosowałeś podstawienie uniwersalne (tak przeczytałem na wiki):

	1−tg2 x2
tylko skąd wiadomo, że cosx =
	1+tg2x2

Ja bym prędzej powiedział, że cosx = √1−cos²x czy to jest poprostu wzór który trzeba pamiętać ?

loitzl9006: to się da wyprowadzić opierając się na wzorach na sinus i cosinus podwojonego kąta i z tego że

	sin x
tg x=		z tym że to wyprowadzenie nie jest takie proste i na kolokwium/egzaminie
	cos x

może nie starczyć czasu żeby to wyprowadzić a i ewentualny stres robi swoje. Ucząc się na egzaminy, moim zdaniem lepiej jest to zapamiętać

Bogdan: To jest zwykłe przekształcanie wzorów. cos2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x Stąd

	x		x		1 + cosx
cosx = 2cos2		− 1 ⇒ cos2		=
	2		2		2

oraz

	x		x		1 − cosx
cosx = 1 − 2sin2		⇒ sin2		=
	2		2		2

	x		x   sin2   2		1 − cosx   2
tg2		=		=
	2		x   cos2   2		1 + cosx   2

	x		1 − cosx		x		x
czyli tg2		=		⇒ 1 − cosx = tg2		+ cosx*tg2
	2		1 + cosx		2		2

	x		x		x   1 − tg2   2
1 − tg2		= cosx(1 + tg2		) ⇒ cosx =
	2		2		x   1 + tg2   2

Mila: Jeśli mamy całkę typu:∫R(sinx,cosx,tgx)dx to wykonujemy podstawienie:

	x
tg		=t skąd x=2arctgt
	2

	2dt
dx==
	1+t2

Wzory trygonometryczne: ( spróbuj wyprowadzić, są w podręcznikach)

	x   2tg   2
sinx=
	x   1+tg2   2

	x   1−tg2   2
cosx=
	x   1+tg2   2

	x   2tg   2
tgx=
	x   1−tg2   2

Korzystając z tych wzorów mamy

	2t
sinx=
	1+t2

	1−t2
cosx=
	1+t2

	2t
tgx=
	1−t2

Wypisz sobie te 3 ostatnie wzory na kartce i rozwiązuj całki. Dokończ też całkę z 17:31 bo to ten sam typ co Bogdan Ci rozwiązał ( częściowo). Drugie postawienie podał Ci Bogdan o 17:03 i jeśli nie znajdziesz wzorów, to Ci napiszę.

Mila: Przepraszam Bogdan, widziałam,że nie odpowiadasz, to wtrąciłam się.Pozdrawiam.

Bogdan: bo jadłem obiad

Miraclepl: ad. post z dzisiaj: 10:51

	dx
Stosując twoje rady Mila, doszedłem już do fragmentu: ∫		=*
	3+cosx

	2dt
[ t=tgx2 ⇒arctg(t)=x2 /*2 ⇒ 2arctg(t)=x więc dx=		]
	1+t2

	2dt		1		dt		1
*=∫		*		= 2∫		*
	1+t2		1−t2   3+   1+t2		1+t2		1−t2   3+   1+t2

i teraz co z tym zrobić ? mogę się pozbyć ułamka w mianowniku ale powstanie drugi, niewiem czy to ma sens:

	dt		1   1−t2
2∫		*		→ nie mam pomysłu jak z tego wybrnąć
	1+t2		3   +1+t2 1−t2

Bogdan: Oj, radzę poćwiczyć przekształcanie wyrażeń. Kontynuuję rozwiązanie z godz. 10.51

	1		2dt		2dt		2dt
∫		*		= ∫		= ∫		=
	1−t2   3 +   1+t2		1+t2		3 + t2 + 1 − t2		2t2 + 4

	dt		1		dt
= ∫		=		∫		= ...
	t2 + 2		2		t   ( )2 + 1   √2

	t
podstawienie s =
	√2

Mila:

	1		dt		dt		dt
=2∫		*		=2∫		=2∫		=
	1−t2   3+   1+t2		1+t2		3(1+t2)+1−t2		2t2+4

	dt
=∫		dokończ i napisz wynik
	t2+2

Miraclepl:

	dt		dt		dt
∫		= 12∫		= 12∫		=*
	t2+2		t2   1+   2		t   1+( )2   √2

	t
[ s=		i dt=ds√2 ]
	√2

1

ds√2

1

ds

√2

t

*=

∫

=

=

arctg (

) =

2

1+s2

2

1+s2

2

√2

√2		x   tg( )   2
	arctg (		)
2		√2

Miraclepl:

	1		ds √2
W 3 linijce mały błąd przy przepisywaniu: *=		∫		=
	2		1+s2

	1		ds
		∫√2		....
	2		1+s2

Miraclepl: Mam jeszcze jedno pytanie dotyczące właśnie podstawienia uniwersalnego i podstawień: cosx, sinx, tgx. Jak rozumiem, do wszystkich przykładów całek typu R(sinx,cosx) (czyli poprostu całek funkcji trygonometrycznych wszelkiego rodzaju tak?) można stosować podstawienie uniwersalne czyli

	x
tg		ale także, jeśli:
	2

Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus R(−sin x,cos x)= −R(sin x,cos x), stosuje się podstawienie t= cosx Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus R(sin x,−cos x) = −R(sin x, cosx), stosuje się podstawienie t =sinx Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie (R(−sinx,−cosx) = R(sinx,cosx), stosuje się podstawienie t =tgx i tu pytanie: jak by takie sprawdzenie wyglądało w przypadku właśnie tego zadania, które zrobiliśmy czyli:

	dx
∫
	3+cosx

Mila: Podana całka zależna tylko od cosx. Inny przykład: 1) ∫cos³xdx=∫cosx*cos²x dx=∫cosx(1−sin²x)dx= [sinx=t; cosx dx=dt ]

	1
=∫(1−t2)dt=t−		t3=...
	3

	sinxcosx
2) ∫		dx=
	1+sin4x

tu zastosuj sin²x=t

	cosx+sinx
3) ∫		dx a tu? Popatrz na licznik i mianownik,pomyśl.
	(sinx−cosx)2

Trzeba zrobić sporo całek, aby nabrać wprawy, zapamiętać reguły, ale zawsze trafi się taka, że sprawi kłopot. Nie skacz po materiale tylko rób tematycznie.Trygonometryczne są trudne.

b.: podstawienie uniwersalne prowadzi często do dłuższych rachunków niż inne podstawienia (ale inne nie zawsze działają)

	dx
jak sprawdzić, jakie podstawienie (nieuniwersalne) zadziała dla ∫		?
	3+cosx

no można wg regułek które napisałeś, ale moim zdaniem są one trudne do zapamiętania proponuję tak: sprawdzamy po kolei... t = cos x dt = − sinx dx −− aha, czyli potrzebujemy sinx w liczniku −− no to próbujemy:

	dx		sinx dx
∫		= ∫		= i mamy kłopot, bo sinx w mianowniku nie
	3+cosx		(3+cosx) sin x

możemy przedstawić za pomocą t (można by sobie poradzić, gdyby był sin²x, bo sin²x = 1−t²) no to próbujemy dalej: t = sin x dt = cos dx −− aha, czyli potrzebujemy cosx w liczniku −− spróbujmy:

	dx		cosx dx		cosx dx
∫		= ∫		= ∫		−− i znowu
	3+cosx		(3+cosx) cos x		3cosx + cos2 x

kłopot tym razem z 3cosx w mianowniku to może t = tgx?

	dx
wtedy dt =		, czyli
	cos2x

	dx		cos2x		dx
∫		= ∫				−− i jest kłopot z 3cosx, które
	3+cosx		3cosx + cos2 x		cos2 x

nie daje się ładnie wyrazić przez t (dają się wyrazić sin²x, cos²x, sinxcosx −− no to nie jest może takie oczywiste, ale tak czy inaczej dobrze to wiedzieć żeby stosować podstawienie t=tgx) więc zostaje uniwersalne

	dx
jeśli chcesz sam spróbować, można potestować tę metodę z całką ∫
	cos x

Miraclepl: W tej chwili to właściwie robie pokolei zadania z list egzaminacyjnych, więc ostatnimi czasy zaczynałem od macierzy przez układy równań, proste i płaszczyzny w przestrzeni aż dotarłem do całek (tu przerobiłem wszystko z matematyka.pisz.pl tj. całki przez podstawienie i części). Właśnie będę zabierał się za całki oznaczone (pole obszaru ograniczonego liniami, długość krzywej, objętość bryły powstałej przez obrót krzywej), całki niewłaściwe i pochodne cząstkowe. W 2 przykładzie to faktycznie sin²x odrazu rzuca się w oczy. W 3 przykładzie zastosowałem podstawienie [t=sinx−cosx ⇒ dt=cosx+sinx dx] no i całka wyszła:

	1
−		+C
	sinx−cosx

W tej chwili chciałbym zrobić jeszcze kilka przykładów całek trygonometrycznych, jeśli można to prosiłbym o jakieś ciekawe przykłady

Mila: Trzecia całka dobrze. Najpierw

	dx
a)∫
	sinx

	dx
b)∫		zobacz w podręczniku, są wyprowadzone w Krysickim.
	cosx

	dx
1) ∫
	1+cosx

	4dx
2)∫
	3+5cosx

3) ∫e^2xsin²xdx skorzystaj z wzoru na cos 2x

	dx
4)∫
	sin3xcosx

	dx
5)∫
	sinxcos3x

Mila: Dobranoc

Miraclepl: Pytanie do postu z 23:33

	dx
Chodzi o twoje podstawienie t=tgx ⇒dt=
	cos2x

	dx		cos2x		dx
∫		= ∫
	3+cosx		3cosx+cos2x		cos2x

	dx
rozumiem skąd jest ułamek		no bo to się równa poprostu dt
	cos2x

	cos2x
ale skąd jest ten		?
	3cosx+cos2x

wygląda jakbyś pomnożył licznik przez cos²x a mianownik tylko przez cosx Ad. Przykłady od Mili:

	dx
a) ∫		→ zastosowałem podstawienie t=cosx, dt=−sinxdx
	sinx

	dt
Po przekształceniach otrzymałem ∫		więc rozłożyłem na ułamki proste:
	(t−1)(t+1)

	dx		1		1
∫		= ∫−		+ ∫		i ostatecznie otrzymałem:
	sinx		2(t+1)		2(t−1)

	dx
∫		= (−12)ln|cosx+1|+12ln|cosx−1|+C
	sinx

	dx
b) ∫		→ zastosowałem podstawienie t=sinx, dt=cosxdx
	cosx

	dt
Czyli ∫		rozłożyłem na ułamki proste:
	1−t2

	dx		1		1
Więc: ∫		=∫		+∫
	cosx		2(1−t)		2(1+t)

	dx
Ostatecznie: ∫		= (−12)ln|1−sinx|+12ln|1+sinx|+C
	cosx

	dx
1) ∫		→ sprawdziłem podstawienie t=cosx − nie pasuje, t=sinx − też nie
	1+cosx

Zatrzymałem się na t=tgx, chciałem to podstawić i sprawdzić tylko niewiem do końca jak (dlatego pytanie z początku postu)

Mila:

	dx		x
∫		podstawienie tg		=t
	1+cosx		2

tgx=t wtedy gdy występuje sin²x, cos²x, sinxcosx ( naturalnie nie jest to sztywna reguła)

Miraclepl: Masakra podstawiłem wczesniej tg^x₂ i podczas rozwiązywania pomyliłem zadania poprostu

	dx		dx
zamiast		wziąłem		i wyszły mi jakieś głupstwa.
	1+cos		3+cos

Ech... rozwiązywałem jedno zadanie a patrzyłem się na rozwiązanie drugiego xD chyba już za dużo całek hehe. Wyszło:

dx		2dt
	=* t=tgx2 ⇒dx=
1+cosx		1+t2

	2dt   1+t2		2dt		dt
*= ∫		= ∫		= 2∫		= ∫dt = t =
	1−t2   1+   1+t2		1+t2+1−t2		2

	x
tg		+C
	2

Mila: Trzeba to przejrzyściej zapisywać, żeby widać było co się upraszcza. Myślę, że całek za mało, trzeba przynajmniej 50 trygonometrycznych rozwiązać, stosuje się różne przekształcenia trygonometrycznych wyrażeń, aby łatwiej się liczyło.

	dx
J=∫		=
	2+cosx

	x		2dt		1−t2
[tg		=t ; dx=		; cosx=		]
	2		1+t2		1+t2

	1		2dt		dt
J=∫		*		=2∫		dokończ
	1−t2   2+   1+t2		1+t2		2(1+t2)+1−t2

Miraclepl: Dokańczam:

	dt		dt		2		dt
2∫		= 2∫		=		∫		=
	2(1+t2)+1−t2		3+t2		3		t2   1+   3

	2		dt
		∫		=*
	3		t   1+( )2   √3

	t		dt
{s=		i ds=		czyli dt=√3ds}
	√3		√3

2

ds√3

2√3

ds

2√3

2√3

*=

∫

=

∫

=

arctgs=

3

1+s2

3

1+s2

3

3

	t		2√3		tg(x2)
arctg		+C=		arctg		+C
	√3		3		√3

ad przykład 2) z 00.19

	4dx		2dt		1−t2
∫		=* {t=tgx2, dx=		, cosx=		}
	3+5cosx		1+t2		1+t2

	8dt   1+t2		8dt		8dt
*= ∫		=∫		=∫		=
	1−t2   3+5   1+t2		3+3t2+5(1−t2)		3+3t2+5−5t2

	8dt		dt		dt		4dt		4dt
=∫		=8∫		=4∫		= ∫		= ∫		→
	8−2t2		8−2t2		4−t2		−(t−2)(t+2)		(−t+2)(t+2)

	A		B
rozbijam na ułamki proste (A=B=1):		+
	−t+2		t+2

	4dx		1		1
∫		= ∫		+ ∫		→ tu podstawiam (−t+2) i (t+2)
	3+5cosx		−t+2		t+2

	x		x
i ostatecznie otrzymuje: −ln|−tg(		)+2|+ln|tg		+2|+C
	2		2

tam gdzie jest na niebiesko to przed chwilą miałem błąd (−2) i mi nie wychodziło, teraz po sprawdzeniu na wolfram alpha wydaje się być dobrze

Mila: Pstatni wynik możemy zapisać:

	x   2+tg   2
ln|		|+C
	x   2−tg   2

Czy wiesz dlaczego Ci nie wychodziło?

	dt		−dt
∫		=−∫		=−ln|−t+2|+C [bo (−t+2)'=−1 ]
	−t+2		−t+2