1 miłosz: Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba jest podzielna przez 6.

1		1		1		1
	n4 +		n3−		n2−		n
4		2		4		2

Jak to zrobić indukcyjnie?

miłosz: Podbijam!

Artur z miasta Neptuna: wspólny mianownik:

n4 + 2n3 − n2 − 2n
	=
4

grupowanie:

	n2(n+2) −n(n+2)		(n2−n)(n+2)		n(n−1)(n+2)
=		=		=
	4		4		4

i coś nie tak ... sprawdź czy dobrze zapisałeś przyklad

miłosz: Dlaczego nie tak?

Eta: @Artur.....

	n3(n+2)−n(n+2)
=		=....
	4

Artur z miasta Neptuna: kurdę ... źle rozłożylem

n4+2n3−n2−2n		(n3−n)(n+2)		n(n−1)(n+1)(n+2)
	= U{n3(n+2}−n(n+2){4} =		=
4		4		4

i teraz: masz iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych: n(n−1)(n+1) ... czyli na bank minimum jedna z nich podzielna przez 2, a dokładnie jedna podzielna przez 3 niech: n podzielne przez 2, ale nie przez 4 ... wtedy n+2 podzielne przez 4 ... czyli wszystko się zgadza niech: n podzielne przez 2 i 4 .... wtedy n+2 jest podzielne przez 2 ... i też wszystko się zgadza niech: n NIE będzie podzielne przez 2 ... wtedy (n−1) i (n+1) podzielne przez 2, co więcej ... na pewno jedna z nich podzielna przez 4 ... i też sie zgadza

Eta:

Artur z miasta Neptuna: a nawet szybciej w liczniku masz iloczyn 4 kolejnych liczb naturalnych, a więc: NA PEWNO jedna z nich jest podzielna przez 4 NA PEWNO jedna z nich jest podzielna przez 3 NA PEWNO dwie z nich są podzielne przez 2 tak więc ich iloczyn NA PEWNO będzie podzielny przez 2*3*4 = 24 24:4 = 6 c.n.w.

Eta:

miłosz: Ale ja chce indukcją, jak to będzie ,?

miłosz: Ma być podzielna przez 6 a nie 4!

Artur z miasta Neptuna: a po co Ci indukcją niech będzie 1^o n=1

1		1		1		1
	+		−		−		= 0 ... jest podzielne przez 6
4		2		4		2

2^o n=k

k4		k3		k2		k
	+		−		−		.... podzielne przez 6
4		2		4		2

3^o n=k+1

(k+1)4		(k+1)3		(k+1)2		(k+1)
	+		−		−		=
4		2		4		2

k3

k3

k2

k

2k3

12k2

4k

=

+

−

−

+

+

+

4

2

4

2

2

4

2

// na mocy 2^o niebieskie jest podzielne przez 6//

2k3		12k2		4k
	+		+		= k3 + 3k2 + 2k = k(k2+3k+2) = k(k+1)(k+2)
2		4		2

czyli iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych a iloczyn trzech naturalnych liczb na pewno jest podzielny i przez 2 i przez 3 ... czyli także przez 2*3=6 c.n.w.

miłosz: O to mi chodziło, dzięki

Eta:

miłosz: 1)niech: n podzielne przez 2, ale nie przez 4 ... wtedy n+2 podzielne przez 4 ... czyli wszystko się zgadza 2)niech: n podzielne przez 2 i 4 .... wtedy n+2 jest podzielne przez 2 ... i też wszystko się zgadza 3)niech: n NIE będzie podzielne przez 2 ... wtedy (n−1) i (n+1) podzielne przez 2, co więcej ... na pewno jedna z nich podzielna przez 4 ... i też sie zgadza Artur z miasta Neptuna: Mam to rozumieć że, jak za n podstawie 2 w 1) to będzie 2+2=4 i jest podzielne przez 4 ,o to chodzi?

Artur z miasta Neptuna: tak ... wlaśnie oto chodzi ... bo tam licznik musi być nie tylko przez 6 podzielny ale jeszcze poza tym przez 4 (mianownik ulamka) ... więc de facto musi byc podzielny przez 24 ... i stąd ten wywód.

miłosz: niech: n podzielne przez 2, ale nie przez 4 ... wtedy n+2 podzielne przez 4 ... czyli wszystko się zgadza ↑ Nie rozumiem , piszesz ale nie przez 4 , a później "podzielne przez 4"

miłosz: Dostaje taki iloczyn :n(n−1)(n+1)(n+2) Nie mogę po prostu napisać ,że gdy za n podstawie 2 to będzie 2(2−1)(2+1)(2+2) =24 czyli jest podzielne przez sześć

Artur z miasta Neptuna: skoro n nie jest podzielne przez 4, ale jest podzielne przez 2 ... to n+2 będzie podzielne przez 4 to był pierwszy przypadek drugi przypadek, że n jest podzielne przez 4 trzeci przypadek, że n nie jest podzielne przez 2 zresztą ... patrz wpis z 20:24 ... łatwiejszy do 'przetworzenia' jest

miłosz: Chyba nie będzie dobrze bo podstawiłem wybraną liczbą a ma całe wyrażenie się dzielić przez 2 więc , dobrze będzie to moje jeżeli dodam że skoro 24 jest podzielne przez 2 to będzie podzielne przez 1 i przez 6 bo dzielnikami 6 są liczby :2,6,1,3, Dobrze by było jak bym to dodał?

miłosz:

miłosz: podbijam!

Artur z miasta Neptuna: co przez 1 WSZYSTKO jest podzielne to co napisałeś to wyjasnienie dlaczego (n−1)n(n+1)(n+2) jest podzielne przez 24 Jeżeli tak myślałeś, to jesteś w błędzie

Eta: