Przedstaw funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych Miraclepl: Przedstaw funkcję wymierną w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych.

x4−3x3+1
x3−4x2+4x

Witam, proszę o jakiekolwiek naprowadzenie jak tego typu zadania rozwiązać W notatkach mam coś o ułamkach prostych ale kompletnie nie wiem skąd się one biorą i jak je odczytać. Prosiłbym o jakiś algorytm postępowania, co robić pokolei gdy zobaczy się takie zadanie Z góry dziękuje.

Basia: dzielisz licznik przez mianownik x⁴ − 3x³ + 1 : (x³−4x²+4x) = x + 1 −x⁴+4x³−4x² −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x³ − 4x² + 1 −x³+4x²−4x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −4x+1 stąd

x4−3x3+1		−4x+1
	= x+1+		=
x3−4x2+4x		x3−4x2+4x

	4x−1
x+1 −		=
	x(x2−4x+4)

	4x−1
x+1 −
	x(x−2)2

	4x−1
i teraz ułamek
	x(x−2)2

masz rozbić na ułamki proste to już umiesz zrobić ?

pigor: .... 1^o rozkładasz mianownik na czynniki możliwie najniższego stopnia :

x4−3x3+1		x4−3x3+1		x4−3x3+1
	=		=
x3−4x2+4x		x(x2−4x+4)		x(x−2)2

2^o rozkładasz na sumę ułamków prostych o odpowiednich licznikach (jakich, poszukaj) :

x4−3x3+1		A		B		C
	=		+		+
x3−4x2+4x		x		x−2		(x−2)2

3^o sprowadzasz do wspólnego mianownika porządkując licznik do odpowiedniego wielomianu i porównujesz tożsamościowo liczniki otrzymując układ równań o niewiadomych A,B,C, ...

Basia: pigor na ułamki proste można rozkładać ⇔ stopień licznika ≤ stopnia mianownika spróbuj skończyć swoje obliczenia to się doświadczalnie o tym przekonasz przecież po sprowadzeniu do wsp.mianownika dostaniesz licznik = A(x−2)(x−2)² + Bz(x−2)² + Cx(x−2) no i skąd weźmiesz x⁴ ?

pigor: o kurcze, faktycznie, przepraszam, skupiłem się na mianowniku , a nie zwróciłem uwagi na licznik .

Basia: poprawka: ...................⇔ stopień licznika < stopień mianownika

Basia: Cześć Milu Przeczytaj wpis z 16:00

Mila: Mira.. na jakim jesteś etapie ułamków prostych. Czy zaczynasz, czy jesteś zaawansowany?

Mila: Basiu, chciałam poprawić zapis Pigora, ale najpierw musi być dzielenie.

pigor: ... no właśnie druga wpadka − nie przeczytałem polecenia ... ze zrozumieniem, a więc jeszcze raz, a ponieważ nie cierpię dzielenia wielomianów, to np. tak :

x4−3x3+1		x4−4x3+4x2+x3−4x2+1
	=		=
x3−4x2+4x		x3−4x2+4x

	x(x3−4x2+4x)+x3−4x2+1		x3−4x2+1
=		= x+		=
	x3−4x2+4x		x3−4x2+4x

	x3−4x2+4x−4x+1		−4x+1		−4x+1
= x+		= x+1+		= x+1+		=
	x3−4x2+4x		x3−4x2+4x		x(x−2)2

	−4x+1		A		B		C
= gdzie		=		+		+		i −4x+1 = A(x−2)2+Bx(x−2)+Cx ⇔
	x(x−2)2		x		x−2		(x−2)2

⇔ −4x+1 = A(x²−4x+4)+B(x²−2x)+Cx ⇔ −4x+1 = (A+B)x²+(−4A−2B+C)x+4A ⇔ ⇔ A+B=0 i −4A−2B+C=−4 i 4A=1 ⇔ A=B=¹₄ i C=−4+1+¹₂= ¹¹₂ , a więc

−4x+1		1		1		11
	=		+		+
x(x−2)2		4x		4(x−2)		2(x−2)2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

x4−3x3+1		1		1		11
	= x+1+		+		+		− szukany rozkład.
x3−4x2+4x		4x		4(x−2)		2(x−2)2

Miraclepl: Mila, szczerze powiem, że jestem całkowicie zielony z tego tematu, właśnie skończyłem całki liczyć przez podstawienie i części z tych przykładów które Jakub umieścił na tej stronce. Z tego co widzę, muszę najpierw przerobić dzielenie wielomianów. Czy mógłbym prosić o jakiś najprostszy przykład po to aby zrozumieć ten cały rozkład?

Basia:

	1
zacznij od
	x2−1

1		1		A		B		A(x+1)+B(x−1)
	=		=		+		=
x2−1		(x−1)(x+1)		x−1		x+1		(x−1)(x+1)

stąd A(x+1)+B(x−1) = 1 Ax + A + Bx − B = 1 (A+B)x + (A−B) = 1 A+B = 0 A−B = 1 B = −A A−(−A) = 1 2A = 1

	1
A=
	2

	1
B= −
	2

1		12		−12
	=		+		=
x2−1		x−1		x+1

1		1
	−
2(x−1)		2(x+1)

przeanalizuj i spróbuj podobnie rozłożyć

2
x2+3x+2

Miraclepl: Nie ma możliwości edycji postów więc dopiszę: Dotarłem już do etapu: podzieliłem wielomiany, wyszło mi dokładnie tak jak wam czyli po przekształceniach:

	−4x+1
x+1+
	x(x−2)2

	A		B
i tu się zatrzymałem bo nie wiem skąd odczytaliście te ułamki typu		,		itp.
	x		x−2

Basia: no to już musisz sobie doczytać bo tych zasad jest sporo: jeżeli mianownik da się rozłożyć na różne czynniki liniowe np. (x−1)(2x+3)(x−6) to mamy tylko ułamki

A		B		C
	;		;
x−1		2x+3		x−6

	A		B		C
jeżeli jest tak jak tutaj czyli x(x−2)2 to masz		;		;
	x		x−2		(x−2)2

	A		B		C		D		E
gdyby było x(x−2)4 to masz		;		;		;		;
	x		x−2		(x−2)2		(x−2)3		(x−2)4

i tak dalej ale gdyby było (x−1)(x²+x+1) to byłyby to ułamki

A		Bx+C
	+
x−1		x2+x+1

	Ax+B		Cx+D
a gdyby było (x2+1)(x2+3) byłoby		;
	x2+1		x2+3

Miraclepl: ad. Twoje pierwsze zadanie, Skąd wiemy, że A(x+1)+B(x−1) = 1

	1
Odczytujemy to po prostu z licznika ułamka		?
	(x−1)(x+1)

Skąd wiemy, że A+B=0 a A−B=1, skąd to się wywodzi

Mila: Tak, myślałam,że całki rozwiązujesz. Dlaczego zacząłeś od trudnego, są prostsze przykłady.W Krysickim są różne przykłady.

	1		1		1		1		1
W arytmetyce ułamki proste to:		,		,		,		,		itd.
	2		3		4		5		6

Czy już zrozumiałeś przykład Basi? Wyjaśnienie do postu z 18:43 A(x+1)+B(x−1) =Ax+A+Bx−B=x(A+B)+(A−B)=licznikowi pierwszego ułamka, czyli =1 stąd A+B=0 bo nie ma wyrazu z x−em, i A−B=1

−4x+1		A		B		C
	=		+		+
x(x−2)2		x		x−2		(x−2)2

Sprowadź prawą stronę do wspólnego mianownika i pogrupuj wyrazy.(...)x²+(....)x+(...)

Miraclepl: Dzięki Mila za polecenie Krysickiego, już przejrzałem kilka przekładów ale utknąłem na tym samym czyli: nie rozumiem skąd się bierze zależność A+B = 0 i A−B =1 : Normalnie gdybym czegoś takiego szukał w innych zadaniach nie tego typu to bym wyliczył z równania: x(A+B)+(A−B)=1 /:x ⇒ ¹_x = A+B + A−B ⇒ ¹_x= 2A ⇒ ¹_2x=A i tak dalej. Ale tutaj mam wrażenie, że to trzeba po prostu odczytać z powyższych równań a ja jestem ślepy i tego nie widzę A(x+1)+B(x−1) =Ax+A+Bx−B=x(A+B)+(A−B)=1 tu jeszcze rozumiem dlaczego =1 A+B=0 bo ? Według tego co pisałaś o 21:56: x(A+B)+(A−B)=1 W nawiasie (A+B) nie ma wyrazu z x−em, ale przecież w nawiasie (A−B) też go nie ma

Basia: nie o to chodzi, nie rozwiązujesz równania tylko badasz kiedy dwa wielomiany są równe dwa wielomiany są równe ⇔ współczynniki przy tych samych potęgach x są równe (A+B)x + (A−B) = 1 = 0*x + 1 i porównujesz

Basia: to tak jak w zadaniu typu: dla jakich wartości parametrów a,b,c,d wielomiany: W(x) = ax³ +(b−1)x² + (c+2)x + d i P(x) = 3x² + 5 są równe

Miraclepl: Ale przecież w równaniu: (A+B)x + (A−B) = 1 mamy tylko jedną potęgę x−a = 1 czyli x¹=x Przy nawiasie (A−B) ewentualnie mogłoby być x⁰ czyli 1(A−B) a więc nie są w tych samych potęgach. W ogóle to zastanawiam się dlaczego powstał zapis (A+B)x + (A−B) = 1 przecież wyciągając przed nawias x wychodzi x(A+B) + A − B =1 poprostu, bez nawiasu przy A−B.

Miraclepl: Do jutra, Dobranoc bo się już późno zrobiło

Basia: 1. x(2+5) + 4−3 = (2+5)x + (4−3) 2. 1= 1*x⁰ = 0*xⁿ+0*xⁿ⁻¹+......+0*x⁴+0*x³+0*x²+0*x¹+1*x⁰

Miraclepl: Dobra dzięki za pomoc, chyba już rozumiem → Zrobiłem to na innym przykładzie i zrozumiałem. Na chłopski rozum: 1=Ax+A+Bx−B czyli po lewej stronie równania (czy też w wielomianie po lewej stronie) nie mamy wyrazów z x'em czyli aby po lewej stronie nie było x'ów to po prawej współczynniki przy x'ach zsumowane muszą dać 0 ⇒ A+B=0. I ponownie po lewej stronie jest wyraz bez x'a czyli po prawej A−B (wyrazy bez x'a) muszą dać nam 1. Czyli od początku: A(x+1)+B(x−1) = 1 Ax + A + Bx − B = 1 (A+B)x + (A−B) = 1 ↓

⎧	A+B = 0
⎩	A−B = 1	⇒

⎧	A=1+B
⎩	A+B=0	⇒

⎧	A=1+B
⎩	1+B+B=0	⇒

⎧	A=1+B
⎩	1+2B=0	⇒

⎧	A=1+B
⎩	2B=−1	⇒

⎧	A=1+B
⎩	B=−12

do pierwszego równania

⎧	A+(−12)=0
⎩	B=−12

A=¹₂ B=−¹₂ Mając to podstawiam do ułamków prostych czyli:

1		A		B		1		12		−12
	=		+		i finalnie:		=		+
x2−1		x−1		x+1		x2−1		x−1		x+1

Dobrze ? Jeśli tak to zabieram się za zadania z mojego pierwszego postu

Basia:

Basia: P.S. do poprzedniego

	1		1
=		−
	2(x−1)		2(x+1)

to nie jest konieczne, ale ładniejsze

Miraclepl: Czyli do pierwszego:

x4−3x3+1		−4x+1		−4x+1
	= x+1 +		=x+1+
x3−4x2+4x		x(x2−4x+4)		x(x−2)2

Z tego wynika,że:

−4x+1		A		B		C
	=		+		+		/*[x(x−2)2]
x(x−2)2		x		x−2		(x−2)2

−4x+1=A(x−2)² + B(x−2)x + Cx −4x+1=A(x²−4x+4)+Bx²−2Bx+Cx −4x+1=Ax²−4Ax+4A+Bx²−2Bx+Cx −4x+1=x²(A+B)−x(4A+2B−C)+4A ⇒

⎧	A+B=0
⎨	4A+2B−C=−4
⎩	4A=1

⎧	A+B=0
⎨	4A+2B−C=−4
⎩	A=14

⎧	14+B=0
⎨	4A+2B−C=−4
⎩	A=14

⎧	B=−14
⎨	4A+2B−C=−4
⎩	A=14

⎧	B=−14
⎨	4*14+2*−14−C=−4
⎩	A=14

⎧	B=−14
⎨	44−24−C=−4
⎩	A=14

⎧	B=−14
⎨	C=184
⎩	A=14

Finalnie:

x4−3x3+1		14		−14		184
	=		+		+		=
x3−4x2+4x		x		x−2		(x−2)2

	1		1		18
		−		+		+x+1
	4x		4(x−2)		4(x−2)2

Wynik z dzielenia wielomianów dopisuję się do ułamków prostych na końcu tak? Martwi mnie jeszcze jedno − moje wyliczone C i B są nieco inne niż te Pigora, któremu wyszło, że A=B no i C zupełnie inne niż moje.

Basia: −4x+1=x²(A+B)−x(4A+2B−C)+4A i wobec tego A+B = 0 4A+2B−C = 4 4A = 1 no i dalej już błąd się ciągnie

Basia: P.S. pigor też popełnił błąd A≠B A = ¹₄ B = −A = −¹₄ 1−¹₂−C = 4 −C = 3¹₂ = ⁷₂ C= −⁷₂

Basia: a poza tym staraj się niepotrzebnie nie komplikować z (3) od razu masz A z (1) wyliczasz B podstawiasz do (2) i wyliczasz C

Bogdan: Proponuję uproszczenie obliczeń przy wyznaczaniu współczynników A, B i C. Nie potrzeba rozwiązywać układ równań. Zaczynam od miejsca: −4x + 1 = A(x − 2)² + Bx(x − 2) + Cx. Dobieram "wygodne" liczby, które wstawiam w miejsce x.

	7
x = 2: −8 + 1 = 0 + 0 + 2C ⇒ C = −
	2

	1
x = 0: 0 + 1 = 4A + 0 + 0 ⇒ A =
	4

	1		7		1
x = 1: −4 + 1 = A − B + C ⇒ B =		−		+ 3 = −
	4		2		4

Jak widać, wyniki mamy prawie natychmiast.

Basia: Witaj Bogdanie Dobry sposób

Bogdan: Witaj Basiu , pozdrawiam.

Miraclepl: Rozpisywałem tylko po to, żeby kiedyś tam w przyszłości tego nie szukać.

	x4−3x3+1		1		1		7
Czyli ostatecznie:		= x+1 +		−		−
	x3−4x+4x		4x		4(x−2)		2(x−2)2

Dobrze? te x+1 czyli wynik dzielenia wielomianów tam też musi być tak?

	x4−3x3+1
I teraz jakbym chciał obliczyć ∫		to wystarczy, że policzę sumę całek
	x3−4x+4x

	1
poszczególnych ułamków prostych ? tj. ∫(x+1)dx + ∫		dx
	4x

	1		7
−∫		dx−∫		dx
	4(x−2)		2(x−2)2

Basia: tak

Miraclepl: Dziękuje za pomoc wszystkim to by było na tyle (jak na teraz

Miraclepl: 1)Skorzystam z tematu, żeby nie zaśmiecać (te same polecenie), proszę o sprawdzenie: Na Wolframalpha przyrównałem całkę z tego ułamka początkowego do sumy całek z ułamków prostych i zwróciło mi odpowiedź "true" więc podejrzewam, że dobrze.

−2x+3
x4+2x2

Stopień licznika jest niższy niż mianownika więc nie muszę dzielić.

−2x+3		−2x+3		A		B		Cx+D
	=		=		+		+
x4+2x2		x2(x2+2)		x		x2		x2+2

−2x+3=Ax(x²+2)+B(x²+2)+(Cx+D)x² −2x+3= Ax³+2Ax+Bx²+2B+Cx³+Dx² −2x+3=x³(A+C)+x²(B+D)+x(2A)+2B ⇒ A+C=0 B+D=0 2A=−2 2B=3 czyli: A=−1 B=³₂ C=1 D=−³₂

−2x+3		1		3		x−32
	= −		+		+
x4+2x2		x		2x2		x2+2

2) Z następnym przykładem mam problem

x6−2x5+x4+3
x4−1

Podzieliłem wielomiany i wyszło: x²−2x+1 z resztą x²−2x+4

	x2−2x+4
no więc otrzymuje: x2−2x+1+
	x4−1

Mianownika juz bardziej chyba nie uproszczę więc chce rozłożyć już na ułamki proste i tylko jeden mi się nasuwa na myśl:

Ax+B		x2−2x+4
	=
x4−1		x4−1

czyli x²−2x+4=Ax+B ⇒ A=−2 i B=4 Czuje, że coś źle zrobiłem

Mila: 1) Dobrze, 2 sprawdzam.

Mila: Dzielenie dobrze mianownik rozkładasz: x⁴−1=(x²−1)(x²+1)=(x−1)(x+1)(x²+1)

x2−2x+4		A		B		Cx+D
	=		+		+
(x−1)(x+1)(x2+1)		x−1		x+1		x2+1

Mila: Oblicz A,B,C,D Sprawdzę po 22.

Miraclepl: Basiu, czy D nie powinno być równe −³₂ ? tj. 1+(−4) = −3 i 2D=−3 więc D=−³₂ ? Wtedy reszta wychodzi: A=³₂ B=−⁵₂ C=1 D=−³₂ Dla sprawdzenia; A+B+C=0 ⇒ ³₂ − ⁵₃ + 1 = 0 ⇒ −²₂+1=0

Miraclepl: oczywiście w sprawdzeniu miało być: ³₂−⁵₂+1=0

Basia: oczywiście pomyliłam się D = −³₂ dalej jest źle więc skasowałam trzeba poprawić

Basia: teraz masz chyba dobre wyniki

Miraclepl: suma sumarum:

x6−2x5+x4+3		3		5
	=		−		+
x4−1		2(x−1)		2(x+1)

	x−32
		+ x2−2x+4
	x2+1

Basia: na końcu ma być: +x² − 2x + 1 (wynik dzielenia)

Nina: Bogdan a Ty czasami nie Gustlik jesteś On tez lubi rozwiązywac zadania w sposób "natychmiastowy".

Basia: Proszę nie obrażać Bogdana. To bardzo zasłużona dla tego forum osoba. Starszym bywalcom dobrze znana. Nowym nie bardzo, bo coś ostatnio rzadko bywa.

Mila: Miracle.. Moje wyniki do zadania 2 godzina 15:46

	x6−2x5+x4+3		A		B		Cx+d
∫		=∫(x2−2x+1)dx+∫		dx+∫		dx+∫		dx
	x4−1		x−1		x+1		x2+1

	3
A=
	4

	7
B=−
	4

C=1

	3
D=−
	2

	1		3		7		1		3
J=		x3−x2+x+		ln|x−1|−		ln(x+1)+		ln(x2+1)−		arctgx+C
	3		4		4		2		2

Miraclepl: Mimo, że o całkę nie prosiłem to dziękuje. Dlaczego A i B nam wyszły inaczej? Basia wrzuciła już całe rozwiązanie aż do ABCD tyle że usuneła bo był błąd mały.

Mila: Są żmudne rachunki i łatwo się pomylić, kilka razy liczyłam. wyrażenie z licznika piszę : A(x³+x+x²+1)+ B(x³+x−x²−1)+ Cx³−Cx+Dx²−D Porównując współczynniki przy niewiadomych w tej samej potędze: (1) A+B+C=0 (2) A−B+D=1 (3) A+B−C=−2 (4) A−B−D=4 (1)+(2); 2A+C+D=1 (3)+(4) ; 2A−C −D=2 znowu dodaję stronami : 4A=3 A=3/4 (1)+(3); 2A+2B=−2 ⇒A+B=−1⇒B=−7/4 z(1) 3/4−7/4+C=0 ⇒ C=1 D=.. Chyba nie pomylilam się w przepisywaniu,

Miraclepl: Ja mam w ten sposób:

A		B		Cx+D		x2−2x+4
	+		+		=		/* (x−1)(x+1)(x2+1)
x−1		x+1		x2+1		(x−1)(x+1)(x2+1)

A(x+1)(x²+1)+B(x−1)(x²+1)+(Cx+D)(x−1)(x+1)= x²−2x+4 opuszczam nawiasy → (Ax+A)(x²+1)+(Bx−B)(x²+1)+(Cx+D)(x²−1)=x²−2x+4 czyli: Ax³+Ax+Ax²+A+Bx³+Bx−Bx²−B+Cx³−Cx+Dx²−D=x²−2x+4 Grupując po x−ach w odpowiednich potęgach: x³(A+B+C)+x²(A−B+D)+x¹(A+B−C)+x⁰(A−B−D)=x²−2x+4 z tego wynika: A+B+C=0 A−B+D=1 A+B−C=−2 /*(−1) A−B−D=4 /*(−1) A+B+C=0 −A−B+C=2 −−−−−−−−−−−−−− 2C=2 C=1 A−B+D=1 −A+B+D=−4 −−−−−−−−−−−−−− 2D=−3 D=−³₂ Podstawiając już wyliczone C i D do pozostałych: A+B+1=0 A−B−³₂=1 −−−−−−−−−−−−−−−−− 2A−¹₂=1 TUTAJ POPEŁNIŁEM BŁĄD bo odczytałem na początku A−¹₂ 2A=³₂ A=³₄ i A+B+C=0 więc ³₄+B+1=0 ⇒ B=−1−³₄ ⇒ B=−⁷₄ Czyli zwracam honor, to jednak ja się pomyliłem, ech pomyśleć, że jeden mały błąd i wykładowca by mnie oblał xD

x2−2x+4		3		7		x−32
	=x2−2x+1+		−		+
(x−1)(x+1)(x2+1)		4(x−1)		4(x+1)		x2+1

Mila: Nie oblał by Cię, to nie jest test wyboru. za wytrwałość.

Miraclepl: Dziękuje i dobranoc

Mila:

Bogdan: Proponuję jeszcze raz inny sposób na wyznaczenie wartości A, B, C, D. x² − 2x + 4 = A(x + 1)(x²) + B(x − 1)(x² + 1) + (Cx + D)(x − 1)(x + 1) Dobieram "wygodne" liczby, które wstawiam w miejsce x:

	3
x = 1: 1 − 2 + 4 = 4A ⇒ A =
	4

	7
x = −1: 1 + 2 + 4 = −4B ⇒ B = −
	4

	3		7		3
x = 0: 4 = A − B − D ⇒ D =		+		− 4 = −
	4		4		2

	3		7		3
x = 2: 4 − 4 + 4 = 15A + 5B + 6C + 3D ⇒ 6C = 4 − 15*		+ 5*		+ 3*
	4		4		2

6C = 6 ⇒ C = 1

Miraclepl: Dzięki Bogdan, jutro przeanalizuje

Mila: Skąd znasz tę metodę? Na studiach nie znałam.

Bogdan: To dość powszechny sposób. Przy okazji poprawiam chochlika, który zjadł mi zapis przy A: x² − 2x + 4 = A(x + 1)(x² + 1) + B(x − 1)(x² + 1) + (Cx + D)(x − 1)(x + 1)

Hook: Mam problem z zadaniem: Przedstaw funkcję wymierną f(x) = x⁵+3x⁴+3x³+2x²+2/x⁴+x³+x² jako sumę wielomianu i ułamków prostych. podzieliłem wielomian i doszedłem do takiej postaci: x+2+2/x⁴+x³+x² i nie wiem jak to zapisać dalej Proszę o pomoc