Ekstremum funkcji Cierpiętnik: ZADANIE TESTOWE Z ANALIZY O funkcji f:ℛ→ℛ wiemy, że jest ciągła, różniczkowalna dowolną ilość razy, i że posiada TYLKO JEDEN punkt krytyczny x₀, tzn. x₀ jest jedynym rozwiązaniem równania f'(x₀) = 0. Ponadto wiadomo, że lim f(x) = lim f(x) = + ∞ . x→+∞ x→−∞ Czy z tego wynika, że funkcja osiąga w punkcie x₀ minimum lokalne? Odpowiedż uzasadnić, ewentualnie skonstruować kontrprzykład.

Cierpiętnik: Gdzie się podziali prawdziwi matematycy?! Czy to jest tylko forum do dyskusji o tabliczce mnożenia?!

Basia: oczywiście, że ma minimum lokalne musi maleć w przedziale (−∞;x₀) i rosnąć w przedziale (x₀;+∞) czyli pochodna zmieni w x₀ znak (i co ważne istnieje) ⇒ to jest minimum podkreślam istnienie, bo np. f(x) = |x| spełnia pozostałe warunki, ale jest w x₀=0 nieróżniczkowalne tak samo np. g(x) = √|x|

Trivial: Basiu, w poleceniu jest napisane, że f jest różniczkowalna dowolną ilość razy.

Artur z miasta Neptuna: Uzasadnienie odpowiedzi: Ponieważ funkcja jest ciągła i różniczkowalna w R, a jedynym rozwiązaniem f'(x)=0 jest punkt x₀ to funkcja f(x) musi posiadać minimum lokalne, aby zachowany był warunek lim_−∞ f(x) = lim_+∞ f(x) = +∞

Basia: Trivial a co to ma do rzeczy ? mnie chodzi o to, że akurat różniczkowalność w x₀ jest ważna założenia są tam w ogóle o wiele mocniejsze niż potrzeba

Trivial: Nic, nic − tylko napisałaś f(x) = |x| spełnia pozostałe warunki, z tym, że |x| nie jest różniczkowalna dowolną ilość razy. Ale chyba po prostu nie zrozumiałem, co miałaś na myśli.

Basia: może to ja nie całkiem jasno napisałam o co mi chodzi podkreślam istnienie pochodnej w p−cie x₀ czyli różniczkowalność bo np. itd.............