Nierówność trygonometryczna teofrast: NIERÓWNOŚĆ TRYGONOMETRYCZNA. witam wszystkich forumowiczów po rocznej przerwie ( a szczególnie Vax−a!...).Poniżej prezentuję bardzo trudne, licealno−olimpijskie zadanie, do którego nie potrafię znaleźć rozwiązania . Proszę o PRZEMYŚLANE i KONSTRUKTYWNE odpowiedzi; nie będę bowiem prowadził dialogu z żartownisiami. próbującymi mi np. wytłumaczyć co to są funkcje trygonometryczne!.. Niech m,n ∊ℤ: m > 0, 0 < n ≤ m+1 oraz 0 <a <1. Pokazać, że 2ⁿ [ aⁿcos^2mπa₂ + (1−a)ⁿsin^2mπa₂ ] ≤ cos^2mπa₂ + sin^2mπa₂.

Artur_z_miasta_Neptuna:

	πa		π
niech α =		<
	2		2

1^o

	1
niech a∊(0,		)
	2

∃_rn aⁿ = (1−a)ⁿ − r_n

	π
L = (2*(1−a))n(cos2mα + cos2mα) − rncos2mα ≤ //cos x ≥0 dla x∊(0,		)//
	2

	1
≤ (2*(1−a))n(cos2mα + cos2mα) ≤ //ponieważ (2*(1−a)) ≤ 2*		= 1//
	2

≤ (cos^2mα + cos^2mα) = P analogicznie

	1
2o niech a∊(		,1)
	2

no i zostaje najłatwiejsze:

	1
3o niech a=		, które 'załatwia się' w jednej linijce
	2

Artur_z_miasta_Neptuna: mały błąd .... powinno być: − 2ⁿ*r_n cos^2mα

Artur_z_miasta_Neptuna: dobra ... wielki błąd:

	πa		π
α =		>
	2		2

	π
więc nie cos x>0 dla x∊(0,		) tylko powinno być cos2≥0 dla x∊R
	2

teofrast: Dziekuję Arturze z miasta Neptuna (=z Gdańska ?) Czy w punkcie 2^o definiujemy ∃r_n : (1−a)ⁿ = aⁿ − r_n ?

teofrast: Z definicji zawsze a < 1 to chyba jednak πa/2 < π/2 ?. Zresztą nie ma to znaczenia bo wszędzie mamy parzyste potegi...

Artur_z_miasta_Neptuna: tak dokładnie tak będzie definiować dlatego analogicznie ... faktycznie dobrze miałem ... na początku dobrze myślałem ... później zacząłem dziwaczyć (wsadziłem 'a' do mianownika)

Artur_z_miasta_Neptuna:

	1
tak z Gdańska ... i cholera ... jest źle ... przecież 2*(1−a) ≥ 2*(1−		) = 1
	2

muszę nad tym jeszcze pomyśleć ... a myslałem że tak łatwo da się to oszacować nie patrząc na 'n' i 'm'