pierwiastki wielokrotne d4mian: uzasadnij, że równanie nie ma pierwiastków wielokrotnych x³ − 5x² −2x + 24 = 0 3x³ +x² −12x − 4 = 0 2x³ + 8x² + 9x +2 = 0 x³ + 6x² + 8x + 15 = 0 czy najlepszą formą rozwiązania będzie najpierw podzielenie?

picia: nikt zapewne by napisal ze najlepsza forma bedzie pogrupowanie

Gustlik: Robisz Hornerem, np. x³ − 5x² −2x + 24 = 0 "Kandydaci" na pierwiastek: +−1, +−2, +−3, +−4, +−6, +−8, +−12, +−24 1 −5 −2 24 1 1 −4 −6 18 −1 1 −6 4 20 2 1 −3 −8 8 −2 1 −7 12 0 x=−2 jest pierwiastkiem Mamy: (x+2)(x²−7x+12)=0 Δ=1, √Δ=1 x₁=3, x₂=4 Postać iloczynowa: W(x)=(x+2)(x−3)(x−4), każdy czynnik jest do potęgi 1, więc wszystkie pierwiastki są jednokrotne, pierwiastkami są liczby x=−2, x=3, x=4. c.n.d. Pozostałe − robisz podobnie. Pamiętaj, tam gdzie pierwszy wyraz wielommianu ma współczynnik różny od 1, musisz uwzględnić pierwiastki wymierne − ułamkowe.

Gustlik: picia − nie w tym przypadku, rozbicie współczynników na pasujące do siebie pary zajmie sporo czasu.

nikt : rozkładasz do iloczynu czynników. Odczytujesz pierwiastki i udowadniasz że nie ma pierwiastków wielokrotnych.

nikt : 3x³ + x² − 12x − 4 = 0 x²(3x+1) − 4(3x+1) = 0 (3x+1)(x−2)(x+2) = 0

	1
x = −		v x = −2 v x = 2
	3

Nie ma pierwiastków wielokrotnych.

picia: haha a nie mowilem

Gustlik: Ten przykład akurat jest prosto zrobić grupowaniem, ale pozostałe tak łatwo nie pójdą, trzeba Hornerem.

picia: Gustlik wiem o tym. ale nikt jest w tym temacie specjalista wiec tak napisalem

nikt : 2x³ + 8x² + 9x + 2 = 0 2x³ + 4x² + 4x² + 8x + x + 2 = 0 2x²(x+2) + 4x(2x+2) + 1(x+2) = 0 (x+2)(2x² + 4x + 1) = 0 x₁ = −2 2x² + 4x + 1 = 0 Δ = 8 ⇒ √Δ = 2√2

	√2
x = −1 ±		≠ 2
	2

więc wielomian posiada trzy różne pierwiastki

nikt : x³ + 6x² + 8x + 15 = 0 x³ + 5x² + x² + 5x + 3x + 15 = 0 x²(x+5) + x(x+5) + 3(x+5) = 0 (x+5)(x² + x + 3 ) = 0 x = −5 i jest to jedyny pierwiastek(Δ w nawiasie < 0)

Gustlik: Tak, tylko mało kto tak potrafi porozbijać środkowe wyrazy, żeby podzielic je na trzy pasujące do siebie pary i wyłączyć czynnik. Dlatego tam, gdzie nie widać wyraźnych zależności między współczynnikami, zalecam zdecydowanie Hornera − jest prosty jak konstrukcja młotka i mało czasochłonny, a na maturze to bardzo ważne.

pigor: ... szukam wśród podzielników wyrazu wolnego pierwiastka np. w 1−szym równaniu jest nim −2 i grupuję ... "pod ten" pierwiastek np. tak : a) x³−5x²−2x+24= 0 ⇔ x³+2x²−7x²−14x+12x+24=0 ⇔ x²(x+2)−7x(x+2)+12(x+2)=0 ⇔ ⇔ (x+2)(x²−7x+12)=0 ⇔ (x+2)(x−3)(x−4)=0 ⇔ x∊{−2,3,4} ... ano nie ma −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− możesz tak : niech x³−5x²−2x+24=(x−a)²(x+2)=(x²−2ax+a²)(x+2)=x³+2x²−2ax²−4ax+a²x +2a²=x³+(2−2a)x²+(a²−4a)x+2a² ⇔ 2−2a=−5 i a²−4a=−2 i 2a²=24 ⇔ 2a=7 i a²−4a+2=0 i a²=12 ⇒ a∊∅ nie istnieje pierwiastek podwójny a . ...

picia:

picia: super

Gustlik: 2x³ + 8x² + 9x + 2 = 0 Horner:

	1
"Kandydaci" −1, −2, −		− ze wzgledu na to, że wszystkie współczynniki wielomianu są tych
	2

samych znaków (same "+"−y), pierwiastki nie mogą być dodatnie, dlatego szukam rozwiazań wśród liczb ujemnych. 2 8 9 2 −1 2 6 3 −1 −2 2 4 1 0 x=−2 jest pierwiastkiem (x+2)(2x²+4x+1)=0 Δ=8, √Δ=2√2 Odp: x=−2, x=U{−2−√2{2}, x=x=U{−2+√2{2} − 3 pierwiastki 1−krotne. c.n.d. x³ + 6x² + 8x + 15 = 0 "Kandydaci": −1, −3, −5, −15 − dodatnie odrzucam z tego samego powodu, co w poprzednim przykładzie Horner: 1 6 8 15 −1 1 5 3 12 −3 1 3 −1 18 −5 1 1 3 0 x=−5 jest pierwiastkiem (x+5)(x²+x+3)=0 Δ=−11<0 ⇒ czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków Odp: x=−5 − to jedyne rozwiązanie − jednokrotne, bo (x+5) jest do potęgi 1. c.n.d.

Gustlik: Pigor, to jest dobra metoda, ale kombinacyjna − dobra do zabawy w domu, ale nie na maturę. Przede wszystkim musisz na piechotę − wstawiając za x liczyć W(1), W(−1),... itd. aż trafisz na pierwiastek. Jeżeli będzie nim 1 albo −1 jest prosto, ale zdarza się, że będzie to któryś z rzędu, wtedy trzeba już potęgować, czasem wychodzą duże liczby. Czasami w ten sposób można się zaliczyc na śmierć. Horner robi dwa w jednym − nie dość, że liczy W(1), W(−1),... czyli reszte z dzielenia, to jeszcze dzieli i masz za jednym zamachem wynik dzielenia − BEZ KOMBINOWANIA JAK KOŃ POD GÓRĘ. Zamiast potgowania mamy kilka mnożeń i dodawań − a więc o wiele prostszych operacji matematycznych do wykonania. Z tego powodu Horner jest wykorzystywany w obliczeniach komputerowych, bo komputer musi wykonać mniej operacji matematycznych do obliczenia tego samego wyniku − tu masz wyjaśnienie znaczenia schematu Hornera w informatyce − http://www.matematyka.pl/58292.htm . Skoro komputerom, które nawet w sposób"tradycyjny" szybko lochą Horner ułatwia życie, to tym bardziej ułatwia uczniowi, który na maturze musi liczyć na piechotę. Owszem − tu na forum w ramach zabawy, gdzie czasu mamy ∞ wiele, możemy sobie na takie coś pozwolić, na zasadzie ciekawostki, że taka metoda też istnieje. Niemniej na maturze, gdzie czas jest cenniejszy od pieniądza potrzebne są KRÓTKIE I SZYBKIE METODY, a nie kręte ścieżki. Trzeba przede wszystkim umieć liczyć prosto, choć znajomość krętych ścieżek nie zaszkodzi.

picia: nikt jest jakis sposob zeby zauwazyc takie grupowanie? nie wiem ze np patrzy sie na ostatni wyraz?

nikt : po prostu doświadczenie

pigor: ...Oj widzę Gustlik−u , że jesteś ... niereformowalny, traktujesz mnie jak jeszcze jednego swojego ucznia , a dla mnie byłoby wielką karą być twoim uczniem i ciągle wysłuchiwać Ochy i Achy na swój, czyli twój temat , no a twoja upierdliwość − jak widzę − nie zna granic; pozwól więc, że ja dla myślących będę grupował, a ty dla reszty rozpisuj swoje schematy , bo mi to nie przeszkadza i nic nie mówię, ale ty ciągle o wyższości ... świąt B. nad świętem Wn. co do schematu Hornera nie musisz mi wskazywać linków (ja wolę książkę np. Maron−a) do jego zastosowania , bo wiem do czego on służy, a dla mnie na pewno nie do tak prostych wielomianów. −−−−−−−−−−−−−−−−−− picia a przy grupowaniu musisz tylko "widzieć" co przez nie chcesz osiągnąć (cel) i trwa to raz krócej albo dłużej , jak większość w życiu, a jak już znajdziesz go (to tak jak np. słynny ... punkt G u ... ) czujesz się odprężony i zadowolony, a twój umysł cieszy się, że popracował...

Gustlik: Pigor no to jedź sobie z Warszawy do Łodzi przez Nowy Jork jak lubisz, przez Twoje grupowanie ludzie obleją maturę, bo nie wyrobią się w czasie z zadaniami, jeżeli nie będą znali prostszej metody. Ja lansuję hasło "Śmierć krętym scieżkom", bo one tylko niepotrzebnie wydłużają czas rozwiązywania zadań. To Ty jesteś niereformowalny, nie ja. Podobnie jak większość nauczycieli kochasz kręte scieżki, a ja ich nienawidzę i mam prawo. Dzieki prostym metodom wielu moich uczniów wreszcie zrozumiało matematykę. Dzięki krętym ścieżkom stosowanym w szkole ci uczniowie wcześniej nie rozumieli tego pięknego przedmiotu. Owszem − w ramach zabawy można się pobawić w długie metody, ale na maturze LICZY SIĘ CZAS !

Eta:

Saizou : Gustlik ale ja bardzo chętnie wybiorę się do Łodzi przez Nowy York kawałek świata przynajmniej zobaczę

picia:

Ja: Jeszcze trochę a staniemy sie uczniami Gustlika. Kult jednostki − najgorsze co może nas spotkać! Czy ten człowiek nie zrozumie ,że jest "upierdliwy" ze swoimi teoriami?!

pigor: ... Drogi Gustlik−u , fajnie, że jesteś, bo dzięki Tobie śmieję się pełną gębą do tego ekranu no i serdecznie pozdrawiam . ...

Gustlik: Pigor, tylko nie zapluj sobie monitora z tego śmiechu Uważaj na biurko, żebyś je głową nie rozwalił Pozdrawiam Ja − ja nikomu niczego nie narzucam, tylko chcę wskazać proste metody, a nie okrężne, od których uczniowie głupieją, bo potem nie umieją ich stosować. Jeżeli uważasz, że nie mam racji − udowodnij mi to. Od tego jest dyskusja. Można pokazać zadanie dwiema metodami − np. i grupowaniem i Hornerem − niech uczeń ma wybór, co dla niego lepsze. A tak jak pokażesz jedną trudną metodę − uczeń może nie załapać, o co biega. Jeżeli to nazywasz upierdliwościa, to chyba z Tobą coś nie tak.

Eta: dla Panów I też pozdrawiam

Eta: Achtung

pigor: ... no i czekasz, czekasz , czekasz, ... prawda , ale tu cię zawiodę, Eta , kontry z mojej strony nie będzie , bo nie zniżę się do poziomu Nauczyciela matematyki zwanego Gustlik−iem .

krystek: Dzisiaj mam wolne , wnuk wyjechał. Przeczytałam ,wpisy i widzę ,że Gustlik nie zmienił się, dalej propaguje "jedynie słuszne metody". pigor dodam ,że gustlik nauczycielem nie jest−o ile dobrze pamiętam − napisał,że zajmuje się udzielaniem korepetycji. Pozdrawiam

Gustlik: Pigorku, a może byś się zajął nauczaniem, zamiast wymądrzaniem, co? Widzę, że Ty nie tylko lubisz kręte ścieżki, ale też obrażać tych, co inaczej myślą niż Ty. Pigorku nie usiłuj mi dorównywać, bo między Tobą a mna w poziomie jest taka sama różnica jak między poziomem piłkarskiej reprezentacji San Marino, a co najmniej Anglią, przy czym Ty jesteś na poziomie San Marino oczywiście. Sorry, ale jeżeli obrażasz innych to Ty niestety jesteś tzw. "nauczycielem matematyki" zwanym pigorkiem. Przeczytaj mój pierwszy post − zaczyna się od słów "to jest dobra metoda, ale kombinacyjna − dobra do zabawy w domu, ale nie na maturę. Przede wszystkim musisz na piechotę − wstawiając za x liczyć W(1), W(−1),... itd. aż trafisz na pierwiastek. ". Nie ma ani jednego słowa obraźliwego. Nie ma też słowa potępienia tej metody, tylko na podstawie moich doświadczeń z uczniami wyraziłem swoje zdanie na jej temat − ta metoda z punktu widzenia większości uczniów JEST TRUDNA i czasochłonna, co nie znaczy, że ją Ci narzuciłem. A Ty robisz szambo i obrażasz innych. Jakub powinien Cię usunąć z tego forum i ja, gdybym był adminem, za taki post bym Cię w ogóle zablokował. Zapomniałes chyba, po co jest to forum. Krystku, ja propaguję PROSTE metody, a nie jedynie słuszne.

świnia: zamiast się kłócić o swoje racje, pomogli byście https://matematykaszkolna.pl/forum/152093.html

pigor: no nie jednak jesteś bardzo małym człowieczkiem i cieszę się, że mnie się udało to pokazać, dziwię się więc, że jeszcze mnie nie zbanowałeś za te moje wszystkie występki jak np. grupowanie itp. itd....

rumpek: Tak teraz wyglądam: http://tnij.org/rp1f Jak przeczytałem całą tę rozmowę ...

Eta: Dla Pigora .......

Eta: Biedny rumpek

rumpek: Aż muszę włączyć sobie film "Piękny umysł"

picia: fajny film

rumpek: potwierdzam

rumpek: Niemiecki humor

Eta:

Saizou : "Szejk zlapal w swoim krolestwie trzech zlodzieji: Turka, Polaka i Niemca i zamierza ich ukarac. Do Turka mowi:" Zabrales babci torebke. Za to dostaniesz 300 batow ale mozesz wyrazic jedno dowolne zyczenie" Turek:" Chce poduszke na plecy". Nastepny jest Niemiec. Szejk:" Ukradles gume do zucia. Dostaniesz za to 100 batow i jedno wolne zyczenie". Niemiec na to:"Chcialbym gazete na plecy". Jako ostatni jest Polak sadzony. Szejk:" Co prawda ukradles swojemu sasiadowi tylko kromke chleba, ale to jest tez przestepstwo i dlatego dostaniesz 10 batow ale za to dwa zyczenia do spelnienia. Polak:" Ok, zycze sobie 500 batow i Niemca na plecy"." Spryt Polaków

picia:

Gustlik: Rumpek, ja wyglądam tak samo, jak czytam posty Pigorka. Pozdrawiam

Mateusz: Z tym że Horner w informatyce słuzy zazwyczaj do obliczania wartosci wielomianu bo wykonuje się tylko n mnożeń i n dodawań i oszczędność w liczbie wykonywanych mnożeń i dodawań rośnie wraz ze stopniem wielomianu natomiast w sposob tradycyjny jak łatwo policzyc tych mnożeń jest

n(n+1)
	gdzie dla wielomianów wyzszych stopni np dla n=72 różnica w czasie działania
2

programu jest kolosalna przykład: W(x)= 2x³+3x²+5x+4 tradycyjnie licząc wartosc wielomianu dla x₀ W(x)= 2*x₀*x₀*x₀+3*x₀*x₀ + 5*x₀ + 4 Hornerem: x(2*x²+3x+5)+4=> x(x(2x+3)+5)+4 tu juz wykonamy tylko 3 mnozenia i trzy dodawania to tak jako taka ciekawostka dla potomnych A teraz Panowie dajcie sobie na luz są wakacje i po co te nerwy była juz na temat przedstawiania metod rozwiązywania zadań na forum dyskusja po co trzepać sobie nerwy jeden przedstawia swoja metode i drugi niech przedstawi swoj sposob rozwiązania i pozostawmy do wyboru uczniowi czy tez uczennicy co woli kremówke czy ptysia Pozdrawiam wszystkich

Saizou : "Znasz kogoś jak mu powiesz „ej, chodźmy na kremówki” to on powie „nie, dzięki stary, nie lubię kremówek”? Kremówki są pycha! (...) Kremówki to jedno z najlepszych ciastek, ja to wiem. Masz chusteczkę? Pociekło mi. Na samą myśl o kremówkach się ślinię." Chyba każdy zna ten tekst

Aga1.: Już prawie rok jak odkryłam to forum i w wolnych chwilach rozwiązuję zadania. Bardzo podobają mi się sposoby rozwiązywania zadań przez pigora, są nietuzinkowe, dla zainteresowanych matematyką , a takich ludzi na forum nie brakuje. Metody Gustlika do oryginalnych nie należą, ale są skuteczne. Wydaje mi się ,że ten spór był zupełnie niepotrzebny(odbieram to jako wymądrzanie się). Dobrze byłoby jedno zadanie rozwiązywać różnymi sposobami, wtedy pytający miałby w czym wybierać. Takie jest moje zdanie.

rumpek: Aga1 [Lubię to] + 1

Mateusz: Jadłem ostatnio kremówki jak dla mnie troche przesłodzone były

b.: sorry za odkopywanie wątku, ale pytanie było o najlepszą metodę i moim zdaniem nie została ona pokazana wiadomo, że x₀ jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu P <=> P(x₀) = P'(x₀) = 0 zatem wielomian P nie ma pierwiastków wielokrotnych <=> NWD(P, P') jest wielomianem stopnia 0 no to sprawdźmy w a) dla przykładu: P(x) = x³ − 5x² −2x + 24 liczymy pochodną P'(x) = 3x² − 10x − 2 znajdujemy NWD(3P, P') za pomocą algorytmu Euklidesa (zaczynamy od 3P, żeby nie mieć za szybko ułamków o dużych mianownikach, można też liczyć dla P,P', to na jedno wychodzi)

	5		62		206
3P(x) = (x−		) P'(x) + (−		x +		)
	3		3		3

	3		9		62		206		2052
P'(x) = (		−		x) (−		x +		) −
	1922		62		3		3		961

widzimy więc, że wielomian NWD(3P, P') dzieli wielomian stały, czyli jest stopnia 0 może w tym przypadku metoda była bardziej uciążliwa rachunkowo, ale prowadzi zawsze do wyniku −− a Wasze metody zadziałają tylko dla wielomianów, które da się ,,ręcznie'' rozłożyć, tj. takich, które mają wystarczająco dużo pierwiastków wymiernych. Na ogół jednak wielomiany nie mają pierwiastków wymiernych i wtedy będziecie sobie liczyć W(1), W(−1), ... nie natrafiając na żaden pierwiastek P.S. No i ta metoda, tak jak i metoda Gustlika, nie wymaga podnoszenia liczb do potęgi −− tylko zwykłe mnożenie, dodawanie i dzielenie

b.: a np. w tym przypadku: P(x) = 3x³ +x² −12x − 4 można też tak: P(−1) = 6 > 0 P(0) = −4 < 0 wobec tego jest po jednym pierwiastku w przedziałach (−∞,−1), (−1,0), (0, ∞) −− stąd każdy z nich jest jednokrotny, bo wielomian stopnia 3 ma co najwyżej 3 pierwiastki rzeczywiste, uwzględniając krotności

Basia: można też tak W(x) = x³ + 6x² + 8x + 15 ma pierwiastki wielokrotne ⇔ 1. x³ + 6x² + 8x + 15 = (x−a)³ lub 2. x³ + 6x² + 8x + 15 = (x−a)²(x−b) rozwijając prawe strony i porównując współczynniki dochodzimy do sprzeczności tyle, że w (2) rachunki będą dosyć wredne

Basia: proponuję przećwiczyć metody opisane wyżej na wielomianie W(x) = x³+x²+x+3 i nie marnować czasu na szukanie pierwiastków wymiernych, bo ich nie ma

Basia: i pozwolę sobie uzupełnić: P(x₀) = P'(x₀) = 0 ⇒ x₀ jest co najmniej pierwiastkiem dwukrotnym P(x₀) = P'(x₀) = P"(x₀) = 0 ⇒ x₀ jest co najmniej pierwiastkiem trzykrotnym .......................... P(x₀) = P'(x₀) = P"(x₀) =....=P⁽ⁿ⁾(x₀)= 0 ⇒ x₀ jest co najmniej pierwiastkiem n+1−krotnym

b.: uściślenie do tego, co napisałem 12 sierpnia o 09:30: wielomian P nie ma (zespolonych) pierwiastków wielokrotnych <=> NWD(P, P') jest wielomianem stopnia 0 implikacja <= zachodzi też oczywiście dla rzeczywistych pierwiastków wielokrotnych, ale już => niekoniecznie: może się zdarzyć, że NWD(P,P') jest wielomianem stopnia dodatniego (parzystego), a mimo to P nie ma rzeczywistych pierwiastków wielokrotnych. W takim przypadku NWD(P,P') będzie wielomianem bez pierwiastków rzeczywistych.