Bezwzględna zbieżność Wiki: W jaki sposób sprawdzić, czy szereg −1 + ¹₄ − ¹₉ + .... jest BEZwezględnie zbieżny ?

Godzio: A masz jakieś jego kolejne wyrazy ? Przydał by się jego wzór

Krzysiek:

	1
an = (−1)n
	n2

	1
|an|=
	n2

czy: ∑_n=1^∞ |a_n| jest zbieżny?

Godzio: No tak, banalny wzór

Aga1.:

	1
an=(−1)n*
	n2

Wiki: czyli jak a_n jest zbieżny , to całość jest też bezwzględnie zbieżna ?

Trivial: Jest zbieżny.

	1
Szereg ∑n=1∞		jest zbieżny dla α > 1 i rozbieżny dla α ≤ 1.
	nα

Wiki: ok, czyli jak jest zbieżny , to z tego wynika też, że jest bezwzględnie zbieżny ?

Trivial: Raczej na odwrót. Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

Godzio: Wynikanie jest w drugą stronę. |a_n| − zbieżny ⇒ a_n − zbieżny

Wiki: ok, dzięki bardzo .... a czy iloczyn skalarny wektora przez samego siebie jest równy długości tego wektora ?

Godzio: Kwadratowi długości

Trivial: u^_ou = ||u||²

Trivial: Teraz masz podwójne potwierdzenie.

Aga1.: Długość wektora to pierwiastek z iloczynu skalarnego

Wiki: gdzie mogę takie ciekawostki wyszukać ?

Godzio: W książkach pewno

Trivial:

	(−1)n
To kto teraz policzy sumę szeregu ∑n=1∞		?
	n2

Godzio: Sposób dowolny ?

Trivial: Tak.

Wiki: a czy dobrze myślę, że dziedzina funkcji f(x,y) = ln (2x−y) jest półpłaszczyzną, bo 2x − y > 0 jest półpłaszczyzną ?

Godzio:

(−1)n

1

1

π2

1

1

∑

} = ∑

− 2∑

=

−

* ∑

=

n2

n2

(2n)2

6

2

n2

	π2		π2		π2
=		−		=
	6		12		12

	π2		1
Pokazać, że:		= ∑		? Czy już nie trzeba ? Łatwo przez szeregi Fouriera
	6		n2

Trivial: Pokaż! <:

Trivial: Wiki, tak.

Godzio: No dobra, poprzypominam sobie trochę Weźmy funkcję f(x) = x²

	1		2
a0 =		π−π∫x2dx =		π2
	π		3

	1		4
an =		π−π∫x2cos(nx)dx = po żmudnych częściach =		(−1)n
	π		n2

	1
bn =		π−π∫x2sin(nx)dx = 0 (funkcja podcałkowa nieparzysta)
	π

Zatem mamy:

	π2		4
x2 =		+ ∑		(−1)ncos(nx) (już się nie czepiaj, że postawiłem znak równości, bo
	3		n2

nie pamiętam już odpowiedniego twierdzenia na to ) Weźmy teraz x = π,

	π2		4		2π2		4
π2 =		+ ∑		(−1)n * (−1)n ⇒		= ∑		⇒
	3		n2		3		n2

π2		1
	= ∑
6		n2

Trivial: Masz szczęście, że x² jest parzysta i akurat warunki Dirichleta są spełnione w [−π,π].

Trivial: Jeśli chodzi o te żmudne części, to polecam szybkie całkowanie przez części. W pierwszym słupku bierzemy −1*pochodną wyrażenia wyżej, a w drugim − całkę. Kończymy, gdy dojdziemy do zera. cos(nx)

	sin(nx)
x2 →
	n

	cos(nx)
−2x → −
	n2

	sin(nx)
2 → −
	n3

0 Wynikiem jest suma iloczynów poszczególnych wierszy (zaczynając od drugiego).

	sin(nx)		cos(nx)		sin(nx)
∫x2 cos(nx) dx = x2		+ 2x		− 2		+ c.
	n		n2		n3

Godzio: Ooooo ciekawie

Godzio: No właśnie Dirichlet, jeszcze był LIpschitz (czy jakoś tak) i Dinii