pierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne d4mian: rozwiąż równanie −3x³ +15x² − 20x + 6 = 0 odp: x = 1 − ^√3₃, x = 1 + ^√3₃, x = 3

Mila: W(1)=−3+15−20+6=−2≠0 ⇔1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu W(−1)=3+15+20+6≠0 W(2)=−24+60−40+6≠0 W(−2)=24+60+40+6≠0 W(3)=−3*27+135−60+6=−81+75+6=0 x=3 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Teraz podziel w(x) przez (x−3) to otrzymasz wielomian II stopnia.

nikt : −3x³ + 15x² − 20x + 6 = 0 //(−1) 3x³ −15x² + 20x − 6 = 0 3x³ − 9x² − 6x² + 18x + 2x − 6 = 0 3x²(x−3) − 6x(x−3) + 2(x−3) = 0 (3x² − 6x + 2)(x−3) = 0 dalej sobie poradzisz.

d4mian: wyszło

d4mian: dzięki

d4mian: 2) 3x³ − x = 1 − 7x²

nikt : 3x³ +7x² − x − 1 = 0

	1		1		7		1
w(−		) = −		+		−		− 1 = 0
	3		9		9		9

	1
czyli x = −		jest pierwiastkiem
	3

3x³ + x² + 6x² +2x − 3x − 1 = 0 x²(3x+1) + 2x(x+1) − 1(3x+1) = 0 (x² + 2x − 1)(3x+1) = 0 dalej sobie poradzisz.

d4mian: skąd wiedziałeś, że − ¹₃ daje 0 ? mam właśnie z tym problem akurat właśnie w tym przykładzie bo "zgodnie z twierdzeniem pierwiastków całkowitych wielomianu szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego"

nikt : jeżeli wyraz stojący przy najwyższej potędze wielomianu jest różny od 1,0,−1 to korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu:https://matematykaszkolna.pl/strona/121.html

Maslanek: To już poziom rozszerzony

d4mian: no ok dzięki... wiem, że rozszerzony bo właśnie mam taki poziom do ogarnięcia + podstawa

d4mian: no to jeszcze −4x + 4 = 3x³ + x² jak rozbić na czynniki pierwiastek to ²₃

Gustlik: Najłatwiej Hornerem − przy "nie pasujących" współczynnikach nie zalecam grupowania, to metoda dla bystrych. Nie każdy jest tak bystry jak nikt,zeby zauważyć, jak mozna porozbijać wspólczynniki, aby pasowały. Grupowanie wyrazów to najtrudniejsza metoda w tego typu wielomianach, można je stosować tam, gdzie widać wyraźnie zależność między współczynnikami, np. x³+2x²−4x−8=0. Nikt wykazał się bystrością, ale mało kto tak umie robić. Horner jest najłatwiejszy i najszybszy dla tego typu zadań. −3x³ + 15x² − 20x + 6=0 "Kandydaci" na pierwiastek to: +−1, +−2, +−3, +−6

	1		2
+−		, +−
	3		3

−3 15 −20 6 1 −3 12 −8 −2 −1 −3 18 −38 44 2 −3 9 −2 2 −2 −3 21 −62 130 3 −3 6 −2 0 x=3 jest pierwiastkiem (x−3)(−3x²+6x−2)=0 Δ=12, √Δ=2√3

	−6−2√3		3+√3
x1=		=
	−6		3

	3−√3
x2=
	3

	3+√3		3−√3
Odp: x=3 v x=		v x=
	3		3

Gustlik: Najlepiej Hornerem − pamiętajcie, ze najlepsze są NAJPROSTSZE ROZWIĄZANIA: 3x³ +7x² − x − 1 = 0 "Kandydaci" na pierwiastek to:

	1
+−1, +−
	3

3 7 −1 −1 1 3 10 9 8 −1 3 4 −5 4 0,333333333 3 8 1,666666667 −0,444444444 −0,333333333 3 6 −3 0

	1
x=−0,333333333=−		jest pierwiastkiem
	3

	1
(x+		)(3x2+6x−3)=0
	3

Δ=72, √Δ=6√2

	−6−6√2
x1=		=−1−√2
	6

x₂=−1+√2

	1
Odp: x=−		v x=−1−√2 v x=−1+√2
	3