matematykaszkolna.pl
Obliczyć granice funkcji Kasia: a) lim x→0+ xlnx
  π x  
b) lim x→1 (1−x) tg
  2  
  1   1  
c) lim x→0 (
−
)
  xsinx   x2  
d) lim x→0+ xx e) lim x→0+ (1+2x)1x f) lim x→0+ (ctgx)x
4 sie 10:52
Trivial:
 lnx 
a. xlnx =
i teraz reguła de l'Hospitala. Wynik 0.
 1x 
 πx πx 1−x 
b. limx→1 (1−x)*tg(
) = limx→1 sin(
)*
=
 2 2 
 πx 
cos(
)
 2 
 
 1−x 2 
= 1*limx→1
= de l'Hospital... Wynik
.
 
 πx 
cos(
)
 2 
 π 
 1 1 x−sinx 
c. limx→0(
−
) = limx→0
=
 xsinx x2 x2sinx 
 1 x−sinx x−sinx 1 
= limx→0
*
= 1*limx→0
= H..
.
 
sinx 
x 
 x3 x3 6 
4 sie 11:14
Kasia: jaka nieoznaczoność jest w a) bo nie rozumiem dlaczego można z de l'Hospitala
4 sie 11:14
Trivial: d. xx = elnxx = exlnx. W a) już była ta granica, czyli limx→0xx = e0 = 1.
4 sie 11:16
Kasia: czy w b jest na pewno dobrze? czy ten wzór z sin nie jest dla x→0 ?
4 sie 11:16
Trivial:
∞ 
∞ 
4 sie 11:16
Trivial:
 πx 
sin(
) przy x→1 dąży do 1. Rozbijam więc na iloczyn granic.
 2 
4 sie 11:18
Trivial: e) Standardowa granica z 'e'. Wynik e2.
4 sie 11:20
pigor: hmm ... będzie niestety trochę ...emotka "ciężko" , a więc np. tak :
 πx π(x−1+1) 
b) limx→1 (1−x) tg
= limx→1 (1−x)tg
=
 2 2 
 π(x−1)+π) π(x−1) π 
= limx→1 (1−x)tg
= limx→1 (1−x) tg(
+
)=
 2 2 2 
 π π(1−x) π(1−x) 
= limx→1 (1−x) tg(
−
)= limx→1 (1−x) ctg
=
 2 2 2 
 2 π(1−x) 
 π(1−x) 
cos
 2 
 
=
limx→1
=
 π 2 
 π(1−x) 
sin
 2 
 
 2 
π(1−x) 
2 
 π(1−x) 
=
limx→1
* cos
=
 π 
 π(1−x) 
sin
 2 
 2 
 2 2 
=
* 1 * cos0 =
− szukana wartość granicy . ... emotka
 π π 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
4 sie 11:22
Kasia: tak jak zrobił Trivial można robić
4 sie 11:25
pigor: ... zauważ, że jak x→1 ⇒ x−1→ 0 ⇒ 1−x → 0
4 sie 11:25
pigor:
 0 
... a więc możesz jak Trivial regułą. H. , bo masz nieoznaczoność [
] . ... emotka
 0 
4 sie 11:28
Trivial: pigor, co jest złego w moim sposobie?
4 sie 11:28
Trivial: Aha nic.
4 sie 11:28
Trivial: Przykład f. f(x) = (ctgx)x = eln(ctgx)x = ex*ln(ctgx) = ex*ln(cosx / sinx) = exln(cosx) − xln(sinx). limx→0+ x*ln(cosx) = [0*ln(1)] = [0*0] = 0.
 ln(sinx) 
limx→0+ xln(sinx) = limx→0+
=H=
 
 1 
 x 
 
 
cosx 
sinx 
 cosx 
= limx→0+
= limx→0+ −x2
=
 
 1 
−
 x2 
 sinx 
 1 
= limx→0+ −x*
*cosx = 0.
 
sinx 
x 
 
Czyli limx→0+ (ctgx)x = [e0−0] = 1.
4 sie 11:35
Trivial: W drugiej linijce przeniosło mi potęgę do następnej linii. Powinno być exln(cosx) − xln(sinx).
4 sie 11:37
Kasia: Git, sory za głupie pytanie, móżdżek się rozgrzał − już wszystko kumam. Dzięki ogromne! emotka
4 sie 11:46
Trivial: emotka
4 sie 11:52