Równianie kwadratowe z parametrem nameless: Funkcja kwadratowa x²+mx−m+1 ma tę własność, że dla każdej wartości parametru m jej wykres ptrzechodzi przez ten sam, ściśle określony punkt. Wyznacz ten punkt. Prosiłbym także o objaśnienie a nie tylko sam wynik. Z góry dziękuję.

picia: skoro dla kazdej wartosci m przejdzie przez ten sam punkt to ja bym zrobil tak:NP. za m podstawil 0, potem 1 i przyrownal obie funkcje. msc przeciecia to bedzie ten punkt przez ktory przechodzi ta funkcja. masz odpowiedz? to bedzie (1;2) ?

pigor: ... tak, masz rację picia , tym punktem jest (1,2) , a dla mnie i podany przez ciebie sposób jego wyznaczenia jest jak najbardziej o.k. brakuje mi tylko tego, czy faktycznie spełnia on wzór danej funkcji 2=1+m−m+1 ⇔ 0=0 , a więc tak dla każdej wartości m∊R . , no i ja gratuluję prostego pomysłu na rozwiązanie ...

picia:

Bogdan: To zadanie sprowadza się do wyznaczenia wzoru krzywej będącej zbiorem wierzchołków wszystkich parabol danych wzorem: y = x² + mx − m + 1 dla m∊R. Łatwo jest ustalić, że tą krzywą jest parabola, której wierzchołek jest właśnie szukanym punktem.

Bogdan: Zachęcam do rozwiązania tego zadania, ale nie metodą prób dla wybranych wartości m.

Tomek.Noah: f(x)=x²+mx−m+1, m∊ℛ

	−m
xw=
	2

	−m2−4m+4
yw=
	4

m=−2x_w

	−4xw2+8xw+4
yw=
	4

y_w=−x_w²+2x_w+1 y=−x²+2x+1 jest to funkcja którą opisuje Bogdan w pierwszej linijce x_w=1 y_w=2 (1,2) Myślę że dobrze przedstawiłem tok rozwiązania podanego przez Bogdana

pigor: , dzięki Bogdan i Tomek − ... tenisista , dla mnie jasne , bo y_w=−x_w²+2x_w+1= −(x_w²−2x_w−1)= −(x_w−1)²+2 ⇒ (p,q)=(x_w,y_w)=(1,2) . ...

Bogdan: Już myślałem, że nikt nie zakończy tego zadania. Twoje Tomek.Noah rozwiązanie jest dobre Można nieco uprościć rozwiązanie wstawiając od razu do wzoru paraboli y = x² + mx − m + 1 w miejsce m wyrażenie −2x_w, unika się ułamka z mianownikiem 4:

	−m
xw =		⇒ m = −2xw,
	2

y_w = x_w² – 2x_w*x_w + 2x_w + 1 ⇒ y_w = −x_w² + 2x_w + 1 Widzimy, że szukana krzywa będąca zbiorem wierzchołków wszystkich podanych parabol jest parabolą o wzorze: y = −x² + 2x + 1, której wierzchołek (1, 2) jest właśnie szukanym punktem.