MDM - prosze o sprawdzenie jok: Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne d o następującej własności: Dla dowolnych liczb naturalnych m, n, jeżeli iloczyn mn jest podzielny przez 7, to co najmniej jedna z liczb m, n jest podzielna przez d. 7 jest liczba pierwsza, dzieli się przez 7 i 1 (m i n), więc d może być 7 i 1 tak?

Artur z miasta Neptuna: Tak

jok: to samo tylko zamiast 7 jest 24 24 = 4*6 = 3*8= 2*12 Więc 1,2,3,4,6,8,12 Oczywiste, że d =1, dla 4, 6 ,3,8 ,12*2 wpadłem tak, grupuje sobie m i n Grupa I dla m=4 i n = 6 4=2*2 6=2*3 = 6*1 Grupa IIdla m = 3 i n=8 3= 1*3 8 = 4*2 = 1*8 Grupa III dla m=1 i n = 12 12 = 3*4 2= 2*1 I tego nie wiem jak napisać, najprościej: Część wspólna wszystkich grup to 1,2,3,4. 6 odpada bo nie znajduje się w grupie II a 8 nie znajduje się w I i III. Dla śmiechu, wpadłem na to podczas zmywania naczyń. ZMYWANIE POMAGA Jak matematycznie udowodnić, że 6, 8 i 12 nie pasuje?

jok: bump:(

Vax: Biorąc m=1 i n=7 widzimy, że musi być d | 7 skąd d=1 lub d=7, jak łatwo zauważyć obie liczby pasują.

Artur z miasta Neptuna: Zapisz 24 zapomoca iloczynu liczb pierwszych: 24= 2³*3¹ d muszi dzielic 24 a wiec d=2^a3^b Gdzie a=0,1,2,3 natomiast b=0,1 tak wiec masz 8 takich liczb

Artur z miasta Neptuna: Nie czytaj tego. co wczesniej napisalem d=1,2,3,4 1 − oczywiste 2 − niech m nie bedzie podzielnie przez 2 to n musi byc podzielne przez 8 3 − niech m nie bedzie podzielne przez 3 to n podizelne przez 3 4 − niech m bylo podizielnie przez 2 ale nie 4, wtedy n musi byc podzielne przez 4

jok: Tak "koszyk" ktory ja zrobilem to zle myslenie ale dobry wynik czy dobrze zrobione?

Vax: W sumie zadanie można fajnie uogólnić. Otóż: Dla dowolnych liczb naturalnych m,n, jeżeli iloczyn mn jest podzielny przez k = p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_l^a_l , p_i ∊ ℙ ∧ a_t ≥ 1, to co najmniej jedna z liczb m,n musi

	at
być podzielna przez d, które musi być postaci d = pts, gdzie 0 ≤ s ≤ [		] , gdzie
	2

[x] − sufit z x. Na początku pokażę, że liczby d takiej postaci spełniają tezę. Istotnie, załóżmy nie wprost, że żadna z liczb m,n nie jest podzielna przez p_r^{[a_r / 2]} dla pewnego r. Czyli największy

	ar
wykładnik dzielący pr w liczbach m,n musi być mniejszy bądź równy [		]−1. To zaś
	2

oznacza, że największy wykładnik dzielący p_r w iloczynie m*n jest mniejszy bądź równy

	ar
2[		]−2, co nam daje sprzeczność, gdyż dla dowolnego całkowitego dodatniego ar
	2

	ar
zachodzi 2[		]−2 < ar (wystarczy sprawdzić 2 przypadki, ar parzyste bądź
	2

nieparzyste), a z założenia p_r^a_r | m*n. Teraz pokażemy, że nie istnieją inne d spełniające tezę. Pokażemy na początku, że d nie może się składać z iloczynu dwóch różnych liczb pierwszych. Istotnie, załóżmy nie wprost, że dla pewnych r,u mamy p_rp_u | d. Jednak wówczas przyjmując:

	p1a1*p2a2*...*plal
m =
	prar

oraz n = p_r^a_r widzimy, że założenie k | m*n jest spełnione, a iloczyn p_r*p_u nie dzieli żadnej z liczb m,n, skąd w szczególności d nie dzieli żadnej z liczb m,n, sprzeczność. Teraz załóżmy, że istnieje d będące potęgą pewnej liczby pierwszej p_r o wykładniku większym od

	ar		ar
[		], czyli większym bądź równym [		]+1. Wystarczy pokazać, że nie istnieje
	2		2

takie r, że istnieje d spełniające tezę postaci d = p_r^{[ a_r / 2]+1}, wówczas tym bardziej nie będzie istniał większy wykładnik p_r spełniający tezę. Rozpatrzmy 2 przypadki, pierwszy, gdy a_r jest parzyste, tj a_r = 2u dla pewnego u ∊ ℤ₊. Wówczas d = p_r^u+1, jednak tutaj wystarczy wziąć:

	p1a1*p2a2*...*plal
m =
	pru

oraz n = p_r^u, istotnie, wówczas p_r^u+1 nie dzieli ani m ani n. Jeżeli a_r jest nieparzyste, tj a_r = 2u+1, wówczas d = p_r^u+2 i w tym przypadku przyjmujemy:

	p1a1*p2a2*...*plal
m =
	pru

oraz n = p_r^u, jak łatwo zauważyć p_r^u+2 i w tym przypadku nie dzieli żadnej z liczb m,n. CND. −−− Teraz jakiś przykład, mając np: Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne d o następującej własności: Dla dowolnych liczb naturalnych m, n, jeżeli iloczyn mn jest podzielny przez 97200, to co najmniej jedna z liczb m, n jest podzielna przez d. Rozwiązanie: Widzimy, że 97200 = 2⁴ * 3⁵ * 5², więc na mocy powyższego twierdzenia dostajemy, że jedynymi takimi d są: d ∊ { 2⁰ , 2¹ , 2² , 3¹ , 3² , 3³ , 5¹ } Pozdrawiam.

jok: Vax za trudne to "ogolne stwierdzenie", mi bardziej zalezy czy moj sposob grupowania przy małych liczbach jest skuteczny czy przypadkowo trafilem.

jok: postaram się zrozumieć, tylko prosze o wytłumaczenie pewnych "zmiennych"(?) co to jest: a_t, p_t^s, a_r, p_r, p_u " [x] − sufit z x." Oferta z pokerem jest nadal aktualna, tylko potrzebuje Twoich namiarów

Vax: Dowodu jak nie chcesz możesz nie analizować [x] − sufit z x, czyli najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od x, np [3] = 3 , [3.1] = 4 , [9.99] = 10 , [−0.5] = 0 , [−10] = −10 itd.. dalej po prostu rozkładamy naszą liczbę k na czynniki pierwsze, np 12 = 2² * 3¹ , 100 = 2² * 5² itd.. i w poprzednim poście pokazałem, że wszystkie d, które spełniają tezę, są potęgami danych liczb pierwszych z rozkładu na czynniki pierwsze o wykładniku mniejszym bądź równym suficie z połowy wykładnika danej liczby pierwszej w rozkładzie k. Czyli np biorąc k =

	5
35 będą to liczby postaci 30 , 31 , 32 , 33 (gdyż [		] = [2.5] = 3, więc bierzemy
	2

kolejne potęgi 3 o wykładnikach od 0 do 3 włącznie ), podobnie jak np k = 2³ * 3², to działa tylko i wyłącznie d = 2⁰ , 2¹ , 2² , 3¹. Mam nadzieję, że nieco rozjaśniłem sprawę

jok: dziękuje dla 18 będzie = 2¹*3² czyli 2⁰, 2¹, 3¹ dla 81 będzie = 27*3 = 9*9 = 3²*3² = 3⁰,3¹,3², dobrze zrozumiałem?

Vax: Tak, 81 = 3⁴, więc 3⁰ , 3¹ , 3²